Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Question

Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Андре

Я читал в нескольких статьях, что для гамильтониана гармонического осциллятора в зависящем от времени уравнении Шредингера гауссовский волновой пакет остается гауссовым.

К сожалению, я не смог найти никаких доказательств этому утверждению, а попытка проверить это самостоятельно мне не удалась. Если я сделаю общий анзац со сферически-симметричным волновым пакетом Гаусса с зависящей от времени шириной и зависящей от времени и пространства фазой

ψ (т, \vec{Икс}) "=" (π а (т)^{2})^{- 3 / 4} опыт (- \frac{{Икс}^{2}}{2 а (т)^{2}} + я ф (т, \vec{Икс}))

$\psi(t,\vec x) = (\pi a(t)^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{x^2}{2 a(t)^2} + i \phi(t,\vec x)\right)$ и подставляем в уравнение Шредингера

я \dot{ψ} (т, \vec{Икс}) "=" - \frac{1}{2 м} Δ ψ (т, \vec{Икс}) + \frac{к}{2} {Икс}^{2} ψ (т, \vec{Икс})

$i \dot{\psi}(t,\vec x) = -\frac{1}{2m} \Delta\psi(t,\vec x) + \frac{k}{2} x^2 \psi(t,\vec x)$ Я получаю относительно сложные дифференциальные уравнения, включающие первые производные по времени от a и

ϕ

$\phi$ а также пространственные производные первого и второго порядка

ϕ

$\phi$ . Мне не удалось решить эти уравнения или даже показать, что решение существует.

Есть ли простой способ показать это?

Есть ссылка, где это показано?

Какие решения для $a(t)$ и $\phi(t,\vec x)$ для гауссиана (при заданных начальных условиях $a(0) = \sigma$ и $\phi(0,\vec x)=0$ )?

Дану

Возможно, вы могли бы попытаться перейти в пространство Фурье, используя пространственное разложение Фурье?

Андре

@Danu: Разве это не дало бы мне точно такие же уравнения? Поскольку преобразование Фурье гауссиана снова является гауссианом и в гамильтониане

x^{2}

$x^2$ и

p^{2}

$p^2$ появляются симметрично?

Дану

Я уже видел, как преобразование Фурье упрощало некоторые расчеты с использованием гауссовых функций, но вам решать, хотите ли вы попробовать.

Qмеханик

Подробнее о волновых пакетах Гаусса: physics.stackexchange.com/search?q=Gaussian+wave+packet

Ответы (1)

Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Возможно, вы могли бы попытаться перейти в пространство Фурье, используя пространственное разложение Фурье?
@Danu: Разве это не дало бы мне точно такие же уравнения? Поскольку преобразование Фурье гауссиана снова является гауссианом и в гамильтониане $x^2$ и $p^2$ появляются симметрично?
Я уже видел, как преобразование Фурье упрощало некоторые расчеты с использованием гауссовых функций, но вам решать, хотите ли вы попробовать.
Подробнее о волновых пакетах Гаусса: physics.stackexchange.com/search?q=Gaussian+wave+packet

Эмилио Писанти · Answer 1

В задаче есть немного больше структуры, и я бы рекомендовал вам воспользоваться ею. В частности, вы знаете, что $\phi$ действительно является линейной функцией $x$ , иначе это не гауссов; и что действительная и мнимая части его коэффициента имеют различный физический смысл, который вы можете получить, приняв соответствующие математические ожидания. Если вы примените это, то сможете сделать свой Анзац

⟨ \vec{Икс} | ψ (т) ⟩ "=" ψ (т, \vec{Икс}) "=" (π а (т)^{2})^{- 3 / 4} опыт (- \frac{(\vec{Икс} - {\vec{Икс}}_{0} (т))^{2}}{2 а (т)^{2}} + я {\vec{п}}_{0} (т) \cdot \vec{Икс} / час) .

$\langle \vec x|\psi(t)\rangle= \psi(t,\vec x) = (\pi a(t)^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{(\vec x-\vec x_0(t))^2}{2 a(t)^2} + i \vec p_0(t)·\vec x/ħ\right).$ Более того, вы можете легко рассчитать ожидаемые значения позиции и импульса, которые будут

⟨ ψ (т) | \vec{Икс} | ψ (т) ⟩ "=" {\vec{Икс}}_{0} (т)

$\langle\psi(t)|\vec x|\psi(t)\rangle=\vec x_0(t)$ и

⟨ ψ (т) | \vec{п} | ψ (т) ⟩ "=" {\vec{п}}_{0} (т),

$\langle\psi(t)|\vec p|\psi(t)\rangle=\vec p_0(t),$ и вы можете применить теорему Эренфеста, чтобы получить осмысленные, легко решаемые уравнения движения для этих величин. Это полностью ограничивает ваше решение.

Конечно, это должно вас немного смущать, потому что вы этого не доказали . $\psi(t,\vec x)$ является решением TDSE... но выяснить это можно лишь несколькими отличиями. Поскольку вы все равно знаете, что это решение, вы находитесь в довольно безопасном месте.

Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Андре

Дану

Андре

Дану

Qмеханик

Ответы (1)

Эмилио Писанти

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Квантовый гармонический осциллятор, решенный аналитическим методом с использованием уравнения Шредингера и волновой функции

3D Квантовый гармонический осциллятор

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Гармонический осциллятор, модифицированный бесконечной ямой: возможны ли аналитические решения?