Гармонический осциллятор, модифицированный бесконечной ямой: возможны ли аналитические решения?

Волновая функция$\psi(x)$будет удовлетворять уравнению Шредингера для гармонического осциллятора на интервале$x\in (-\frac L2 , \frac L2)$. Мы могли бы написать это как

$$\psi '' +\left(\frac{2E}{\hbar \omega} - \xi^2\right) \psi =0,\tag{1}$$ где $\xi = \sqrt{\frac{m\omega}\hbar} x$масштабируется $x$-координата и прочерк обозначают дифференцирование по $\xi$.

Однако теперь уравнение имеет новые граничные условия:

$$\psi\left(\pm \sqrt{\frac{m\omega}\hbar} \frac L2\right)=0. \tag{2}$$ Поэтому для ее решения нам нужно написать общее решение уравнения (1). Это делается в терминах вырожденных гипергеометрических функций $M$и $U$: $$\psi(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}2 }\,\left(C_1 \xi\, M\left(\frac34 - \frac{E}{2\hbar \omega},\frac 32,\xi^2\right)+C_2 \xi\, U\left(\frac34 - \frac{E}{2\hbar \omega},\frac 32,\xi^2\right)\right).$$ ( Для общего значения параметра$E$эта волновая функция не может быть приведена к экспоненциальному полиномиальному умножению ).

Поскольку потенциал является четной функцией, мы можем потребовать, чтобы$\psi$должен иметь определенный паритет. Это позволяет исключить один из коэффициентов:

• $\psi$ странный ($\psi(0)=0$):$C_2=0.$

• $\psi$ даже ($\psi'(0)=0$):

  $$C_2 = \frac{1}{2\sqrt\pi} \Gamma \left(\frac 14 - \frac{E}{2\hbar \omega} \right) C_1$$

Коэффициент$C_1$таким образом, определяется только нормой$\psi$и не должны входить в расчеты энергетического спектра. Остался единственный параметр - энергия.$E$, которое необходимо определить, наложив граничное условие (2) (необходимо только одно из уравнений, так как мы уже наложили четность). Это даст нам энергетический спектр системы.

---

^{Обратите внимание, что если значение$\xi=\sqrt{\frac{m\omega}\hbar}\frac L2$совпадает с одним из корней некоторого многочлена Эрмита$H_n(\xi)$, то энергия$\hbar\omega(n+\frac12)$и волновая функция$\psi_n$гармонического осциллятора будет решением для этой системы. Но, конечно, число$n$в данном случае не означает, что это$n$-й уровень.}

Я думаю, что в этом случае квадратная яма является доминирующим эффектом, потому что при любом значении$m\omega_0^2$потенциал скважины всегда сильнее. Следовательно, вы можете начать с решений для скважин и рассчитать сдвиг энергии первого порядка из-за потенциала гармонического осциллятора:

$$E_n^{(1)} = \left\langle n^{(0)} \right| V_1 \left|n^{(0)} \right\rangle$$ а также поправки более высокого порядка. я подозреваю, что вы хотите $\frac{1}{2} m \omega_0^2 \frac{L^2}{4}$быть намного меньше, чем $\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2 m L^2}$.

Что касается «точного» решения, то вспомните метод серий решения модели гармонического осциллятора (это делается в любом учебнике по КМ), где вы записываете волновую функцию в виде полинома, умножая$e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$, а затем получить рекуррентное соотношение для этого многочлена. Ну, я подозреваю, что в этом случае вы не хотите отбрасывать другую половину, т.е. многочлен, умножающий$e^{+\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$. Это приводит к уравнению, которое не совсем является уравнением Эрмита. Кроме того, при обычном подходе рекуррентное соотношение обрывается (давая дискретные собственные значения), чтобы не допустить взрыва решения при$x\to \infty$. Однако здесь вместо этого мы требуем, чтобы$\psi\left(\frac{L}{2}\right) = 0$, что является другим требованием.