Два математических метода, применяющих один и тот же интеграл цикла, приводят к разным результатам! Почему?

Я попытался применить отсечной регулятор для расчета простой однопетлевой диаграммы Фейнмана в$\phi^4$-теория с двумя разными математическими приемами. Но в итоге я получил два разных результата и задался вопросом, есть ли разумное объяснение.

Интеграл, который я рассматриваю, следующий

$$I=\int^\Lambda\frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon} \qquad\text{where}\qquad \eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1)$$ $\Lambda$– шкала энергии отсечки и $\epsilon>0$. Потом делаю расчеты.

Метод № 1 - Теорема об остатках:

С

$$I=i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\left[\frac{(2k^0)^{-1}}{k^0+z_0}+\frac{(2k^0)^{-1}}{k^0-z_0}\right] \qquad\text{where}\qquad z_0=\sqrt{|\vec{k}|^2+m^2}-i\epsilon$$ выбор верхнего контура в $k^0$- комплексная плоскость, охватывающая полюс, $-z_0$, у нас есть $$\begin{align} I &= \int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\pi i}\oint dk^0\frac{(-2k^0)^{-1}}{k^0+z_0}\\ &= \frac{1}{2}\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{k^2+m^2}}\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\Lambda \frac{k^2dk}{\sqrt{k^2+m^2}}\\ &= \frac{1}{8\pi^2}\left[\Lambda^2\sqrt{1+\frac{m^2}{\Lambda^2}}-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\bigg)-m^2\ln\bigg(1+\sqrt{1+\frac{m^2}{\Lambda^2}}\right)\right]\\ & \approx \frac{1}{8\pi^2}\left[\Lambda^2-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\right)-m^2\ln2\right] \end{align}$$

Метод № 2 - Вращение фитиля:

Рисуем столбы,$-z_0, z_0$, можно обнаружить, что контур интегрирования можно повернуть против часовой стрелки так, что

$$\begin{align} I &= i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}\\ &= -i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{idk_4}{2\pi}\frac{1}{k^2_E+m^2} \end{align}$$ где $k_4=-ik^0$и $k_E^2=-k^2$, которые $4d$Евклидовы переменные. Итак, у нас есть $$\begin{align} I&=\int\frac{d^4k_E}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2_E+m^2}\\ &=\frac{1}{16\pi^2}\int_0^{\Lambda^2}\frac{k_E^2 d(k_E^2)}{k^2_E+m^2}\\ &=\frac{1}{8\pi^2}\left[\frac{\Lambda^2}{2}-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\right)-\frac{m^2}{2}\ln\left(1+\frac{m^2}{\Lambda^2}\right)\right] \end{align}$$ Сравнивая результаты, полученные двумя вышеуказанными методами, мы найдем только $\ln\Lambda$зависимые части одинаковы; Две другие части ( $\Lambda^2$-зависимость и конечный кусок) различны. Поскольку я использую тот же регулятор, мне немного непонятно, как математические приемы могут повлиять на результаты.