Безмассовая перенормировка теории ϕ4ϕ4\phi^4 и λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Question

Безмассовая перенормировка теории ϕ4ϕ4\phi^4 и λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Физика
собственная энергия
перенормировка
диаграммы фейнмана
квантовая теория поля
размерная регуляризация

Квантовая спагеттификация

При перенормировке $\phi^4$ теория интеграла:

я "=" \int \frac{г^{Д} к}{(2 π)^{Д}} \frac{1}{(к^{2} + М_{0}^{2}) ((к - п)^{2} + М_{0}^{2})}

$I=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{1}{(k^2+M_0^2)((k-p)^2+M_0^2)}$ появляется во время перенормировки, где я беру

M_{0}

$M_0$ быть голой массой. В безмассовом случае перенормированная масса равна нулю,

M = 0

$M=0$ . Если я хочу найти голую вершинную функцию с точки зрения перенормированных параметров до самого низкого порядка - я вижу два возможных способа обработки

I

$I$ :

Расширять $I$ к низшему порядку изначально, который с тех пор $M_0 =0+\mathcal{O}(\lambda)$ становится: $я "=" \int \frac{г^{Д} к}{(2 π)^{Д}} \frac{1}{к^{2} (к - п)^{2}}$ $I=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{1}{k^2(k-p)^2}$ Это дает мне ненулевое значение.
В качестве альтернативы я мог бы рассчитать $I$ с $M_0$ а затем расширить. Это дает мне (в $D=4-2\varepsilon$ размеры): $я \propto М_{0}^{- ε}$ $I\propto M_0^{-\varepsilon}$ $\sim λ^{- ε}$ $\sim \lambda^{-\varepsilon}$ Теперь, насколько я помню, мы можем лечить $\lambda$ как сколь угодно мало, и поэтому я бы сказал, что это должно идти к $\infty$ .

С моей интерпретацией $\lambda^{-\varepsilon}$ поэтому два метода не согласуются. Какой метод является правильным способом приблизиться к этому и как я должен интерпретировать количество $\lambda^{-\varepsilon}$

Квантовая спагеттификация

@marmot На самом деле, это более тревожно, поскольку у нас больше нет расширения возмущения, в этом последнем случае мы получаем условия формы

λ^{- a}

$\lambda^{-a}$ для сколь угодно большого

a

$a$ если провести разложение по

λ

$\lambda$ на более высокий порядок.

пользователь178876

Извините, я не могу понять очень длинное предложение в вашем последнем комментарии. Но теперь ваш вопрос гласит, что вы получаете бесконечность в обоих вычислениях, и вам интересно, почему результаты не совпадают. (Соглашусь конечно, что результаты не те, но мне интересно, в чем вопрос. Первый интеграл расходится и если воскресить

M_{0}

$M_0$ .)

Квантовая спагеттификация

@marmot (не обращайте внимания на мой последний комментарий, он не очень важен). Проблема в том, я думаю, что мы должны ожидать того же результата для коэффициента

λ^{0}

$\lambda^0$ в обоих случаях. Это не вариант. Дальше-больше, если положить

λ = 0

$\lambda=0$ в последнем случае (эквивалентно помещению

M_{0} = 0

$M_0=0$ ) мы не возвращаемся к результату первого случая.

пользователь178876

Я все еще пытаюсь понять вопрос. Но позвольте мне сказать вам это. Вы вычисляете поправку к квадрату массы, и, конечно, это должно иметь размерность массы два. С другой стороны, вы отбрасываете все величины с размерностью массы (так что ваша теория становится масштабно-инвариантной на классическом уровне). Если бы вы использовали регуляризацию отсечки, поправка была бы пропорциональна

Λ^{2}

$\Lambda^2$ . При размерной регуляризации оно становится пропорциональным

μ^{2}

$\mu^2$ . Но вы правы, что увидеть это нетривиально, но хорошо известно (ср. потенциал Коулмана-Вайнберга).

Квантовая спагеттификация

@marmot Я постараюсь сделать свой вопрос более ясным; Почему два метода не согласуются и какой из них дает правильный коэффициент при заказе

λ^{0}

$\lambda^0$ .

пользователь178876

Что ж, полагаю, вы хотите освежить в памяти вывод Коулмана-Вайнберга. Пескин утверждает, что вычисляет размерную регуляризацию, но ИМХО он жульничает. Мне было бы очень интересно узнать, как это сделать без обмана.

Ответы (1)

Безмассовая перенормировка теории ϕ4ϕ4\phi^4 и λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

@marmot На самом деле, это более тревожно, поскольку у нас больше нет расширения возмущения, в этом последнем случае мы получаем условия формы $\lambda^{-a}$ для сколь угодно большого $a$ если провести разложение по $\lambda$ на более высокий порядок.
Извините, я не могу понять очень длинное предложение в вашем последнем комментарии. Но теперь ваш вопрос гласит, что вы получаете бесконечность в обоих вычислениях, и вам интересно, почему результаты не совпадают. (Соглашусь конечно, что результаты не те, но мне интересно, в чем вопрос. Первый интеграл расходится и если воскресить $M_0$ .)
@marmot (не обращайте внимания на мой последний комментарий, он не очень важен). Проблема в том, я думаю, что мы должны ожидать того же результата для коэффициента $\lambda^0$ в обоих случаях. Это не вариант. Дальше-больше, если положить $\lambda=0$ в последнем случае (эквивалентно помещению $M_0=0$ ) мы не возвращаемся к результату первого случая.
Я все еще пытаюсь понять вопрос. Но позвольте мне сказать вам это. Вы вычисляете поправку к квадрату массы, и, конечно, это должно иметь размерность массы два. С другой стороны, вы отбрасываете все величины с размерностью массы (так что ваша теория становится масштабно-инвариантной на классическом уровне). Если бы вы использовали регуляризацию отсечки, поправка была бы пропорциональна $\Lambda^2$ . При размерной регуляризации оно становится пропорциональным $\mu^2$ . Но вы правы, что увидеть это нетривиально, но хорошо известно (ср. потенциал Коулмана-Вайнберга).
@marmot Я постараюсь сделать свой вопрос более ясным; Почему два метода не согласуются и какой из них дает правильный коэффициент при заказе $\lambda^0$ .
Что ж, полагаю, вы хотите освежить в памяти вывод Коулмана-Вайнберга. Пескин утверждает, что вычисляет размерную регуляризацию, но ИМХО он жульничает. Мне было бы очень интересно узнать, как это сделать без обмана.

Квантовая спагеттификация · Answer 1

Итак, возвращаясь к этому после короткого перерыва в работе, я понимаю, что допустил ошибку при написании поста. Выражение, которое я написал для случая (2), неверно, и на самом деле у нас должно быть так:

я \propto \int_{0}^{1} (Икс (1 - Икс) п^{2} + М_{0}^{2})^{Д / 2 - 2} г Икс

$I \propto \int^1_0 (x(1-x)p^2+M_0^2)^{D/2-2}dx$ По сути, это делает мой вопрос недействительным и устраняет путаницу, которая у меня была по этому поводу. Извини.

Безмассовая перенормировка теории ϕ4ϕ4\phi^4 и λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Квантовая спагеттификация

Квантовая спагеттификация

пользователь178876

Квантовая спагеттификация

пользователь178876

Квантовая спагеттификация

пользователь178876

Ответы (1)

Квантовая спагеттификация

Как получить конечный ответ после применения размерной регуляризации в КЭД?

Вносят ли головастики вклад в собственную энергию?

Поляризация вакуума в КЭД — почему она важна для перенормировки?

ϕ4ϕ4\phi^{4} Пропагатор - Диаграмма Фейнмана: внутренняя вершина, которая зацикливается сама на себе

Эта однопетлевая диаграмма для теории ϕ4ϕ4\phi^{4} - перенормировка и переход в позиционное пространство

Признак контрчленного вершинного фактора (Средницкого)?

Каковы источники бесконечностей в (неперенормированных) расчетах квантовой теории поля?

Перенормировка ИК и УФ расходимостей

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Пространственный интеграл Минковского Шредера - опасения по поводу вращения фитиля