Эта однопетлевая диаграмма для теории ϕ4ϕ4\phi^{4} - перенормировка и переход в позиционное пространство

Это несколько связано с более ранним вопросом, который я задал о следующей диаграмме в$\phi^{4}$теория:

Я следил за конспектами лекций Х. Кляйнерта и В. Шульте-Фролинде.

Говоря, что мы в$D$-размерности и переходя в импульсное пространство, приведенная выше диаграмма соответствует следующему:

$$- \lambda \int \frac{d^{D}p}{(2\pi)^{D}} \frac{1}{p^{2}+m^{2}} = - \lambda \frac{(m^{2})^{D/2}}{(4\pi)^{D/2}} \Gamma\left(1 - \tfrac{D}{2}\right)$$

Вышеупомянутое расходится для$D=4$, поэтому считаем малым$\epsilon$для которого$4-D=\epsilon$. Рассмотрим произвольный массовый параметр$\mu$, и ввести безразмерную константу связи$g =\lambda \mu^{-\epsilon}$. Затем вышеизложенное гласит:

$$= - m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right)^{\epsilon/2} \Gamma\left( \tfrac{\epsilon}{2} - 1 \right)$$ И выполняя разложение Тейлора о малых $\epsilon$, мы находим, что приведенное выше становится ( $\psi$– дигамма-функция): $$\approx m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left[ \frac{2}{\epsilon} + \psi(2) + \log\left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right) + \mathcal{O}(\epsilon) \right]$$

$\ $

Меня интересует получение вклада от вышеизложенного в позиционном пространстве в безмассовом пределе$m \to 0$. У меня есть два вопроса:

1. В примечаниях к лекциям выше говорится, что приведенная выше диаграмма является ИК-расходящейся в пределе, когда$m^{2} \to 0$. Что это значит ?

2. Если у нас есть входящий импульс$k$, а приведенная выше диаграмма соответствует функции$\tilde{F}(k)$в импульсном пространстве, то в позиционном пространстве мы имеем вклад, определяемый выражением$F(x_{1},x_{2}) = \int \frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}} e^{- k \cdot (x_{1} - x_{2})} \tilde{F}(k)$. Как это сделать в рамках размерной регуляризации? Могу ли я сделать это? Где зависимость от$k$в приведенном выше, что я могу даже сделать интеграл, и тогда как я могу завершить этот интеграл?

В конце концов, я пытаюсь понять природу расходимости этой диаграммы в позиционном пространстве (в безмассовом случае).