4-скорости в разных кадрах

Я пытался сделать это следующим образом, но я не знаю, могу ли я использовать правило произведения как таковое, когда задействованы матрицы и векторы.

$$\begin{equation*} U'=\frac{dX'}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\Lambda{X}=\frac{d\Lambda}{d\tau}X+\Lambda\frac{dX}{d\tau}=\Lambda\frac{dX}{d\tau}=\Lambda{U} \end{equation*}$$

поскольку матрица преобразования Лоренца$\Lambda$не зависит от собственного времени$\tau$.

Если вам не нравятся матрицы и векторы, выберите произвольный фрейм единичных ортогональных векторов.$\vec e_0,$ $\vec e_1,$ $\vec e_2,$и$\vec e_3.$Затем$\vec X=\sum_\mu X^\mu \vec e_\mu.$Вы также можете выбрать потенциально другую произвольную систему координат единичных ортогональных векторов.$\vec e'_0,$ $\vec e'_1,$ $\vec e'_2,$и$\vec e'_3.$Затем$\vec X=\sum_\mu X'^\mu \vec e'_\mu.$Теперь преобразование Лоренца — это преобразование координат, которое отправляет четыре набора чисел$(X^0,X^1,X^2,X^3)$к, возможно, другому четырем наборам чисел$(X^{'0},X^{1'},X^{2'},X^{'3}).$

И чтобы было совершенно ясно, вектор — это геометрический объект, указывающий в определенном направлении, от одного «когда-где» к другому «когда-куда». И четыре кортежа — это просто еще один способ записи вектора, четыре экземпляра, которые вы можете написать$X=(X^0,X^1,X^2,X^3)$вместо того, чтобы писать$\vec X= X^0 \vec e_0+X^1 \vec e_1+X^2\vec e_2+X^3 \vec e_3.$И вы могли бы написать$(X^{'0},X^{1'},X^{2'},X^{'3})$вместо того, чтобы писать$X^{'0}\vec e'_0+X^{1'}\vec e'_1+X^{2'}\vec e'_2+X^{'3}\vec e'_3.$

Все, что вы делаете, это выбираете другую основу для записи того же вектора в виде набора из 4 чисел. Четыре разных кортежа, один и тот же вектор. И одно из преимуществ этого как раз и заключается в том, что вам не нужно учиться работать с векторами и матрицами. Вместо этого вы можете отметить, что$X^{'\mu}=\sum_\nu\Lambda^{\mu}_{\nu}X^\nu,$где все в этом уравнении является скаляром. Тогда вы сможете отличиться.

Теперь это уравнение для скаляров, и оно связано только с дифференцированием векторов, поскольку ваш выбор базисных векторов буквально указывает на одно и то же направление и величину для каждого времени и каждого места. В противном случае вам нужно научиться различать векторы. Но действует правило продукта.

Я чувствую, что это одно из тех доказательств, которые, кажется, работают слишком легко.

Вы можете дифференцировать вектор на основе xy по сравнению с$\theta, r$Если вы хотите чего-то более сложного, вы должны усвоить это, прежде чем переходить к общей теории относительности.

• важно то, что он не дает представления о том, почему$\tau$хороший параметр для использования, а не время$t$наблюдается в$S$.

Теперь, когда вы знаете, что это один и тот же вектор, просто выраженный в двух разных базисах, вы можете видеть, что нет никакого смысла дифференцировать его по отношению к какому-то случайному базису, как будто он лучше любого другого базиса. На самом деле вы можете дифференцировать его по отношению к любому ортонормированному базису, а затем сделать вектор единичной длины в конце, и это нормально. Потому что вы находите касательную к мировой линии, и когда вы параметризуете по собственному времени, вы масштабируете касательную так, чтобы она имела единичную длину.

Опять же, вы можете вернуться к исчислению на плоской евклидовой плоскости и выяснить, как вычислить единичную касательную к кривой, и один из способов — параметризовать ее по длине дуги, а затем дифференцировать по длине дуги.

И это не сложно, производная - это просто разность векторов, деленная на скаляр. Когда этот скаляр представляет собой длину (собственное время), вы просто создали единичный вектор, указывающий между ними. Это все, что происходит.

Это два разных вопроса, не связанных друг с другом.

Во-первых, как определяется 4-скорость. По определению скорости — это касательные потоки на дифференциальном многообразии, поэтому производные должны браться по параметру, который вы используете для описания потока. В контексте специальной теории относительности таким параметром является собственная длина$s$(или правильное время$\tau$, они отличаются постоянным коэффициентом, поэтому вы можете просто перепараметризировать весь набор уравнений, чтобы получить первое из второго). Стандартное время$t$является переменной на коллекторе, а не параметром, которым вы описываете потоки, поэтому он не имеет права продвигаться как производный. Обратите внимание, что это не связано с тем, насколько «грязными» (согласно вашей терминологии) будут окончательные уравнения. Вещи могут быть грязными, но все же правильными, или наоборот.

Второй вопрос заключается в том, как эти 4-скорости преобразуются в разных системах отсчета. Когда у вас есть определение, вы можете просто взять производные, как вы сделали выше (метод грубой силы), или вы можете использовать более сложные подходы векторного исчисления, показывающие, как компоненты касательных векторов преобразуются среди диаграмм многообразия после того, как вы зафиксируете базовое преобразование координат: результаты будут такими же.

Ваше доказательство полностью верно. Относительность не должна быть сложной :)

Чтобы было ясно, шаги в вашем доказательстве — это просто определение$U'$, определение$X'$, правило произведения, постоянство$\Lambda$, и определение$U$, соответственно. Ни в одном из этих шагов нет ничего плохого.

Что касается того, почему$\tau$и не$t$:$\tau$определяется на основе мировой линии таким образом, что она не меняется между системами координат. То есть работаю ли я в$S$или$S'$, конкретное событие на мировой линии частицы произойдет в определенное собственное время$\tau$. С другой стороны, это произойдет в координатное время$t$в$S$и в$t' \neq t$в$S'$. Таким образом, используя$\tau$во-первых, нам не нужно беспокоиться о преобразовании$t \to t'$в любом месте.

Чтобы увидеть, насколько это упрощает ситуацию, попробуйте восстановить доказательство, используя$V$вместо:

$$V' = \frac{\mathrm{d}X'}{\mathrm{d}t'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} (\Lambda X) = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}t'} X + \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} = \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} \neq \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}.$$ Если мы попытаемся преобразовать $\Lambda \, \mathrm{d}X/\mathrm{d}t'$в $S$-количество кадров, мы действительно получаем беспорядок. На самом деле я не могу написать выражение без использования компонентов и нотации суммирования Эйнштейна. Мы можем написать $$\Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \frac{\partial x^\nu}{\partial t'} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}x^\nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^\nu{}_{t'} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}x^\nu},$$ с $x^\nu = \Lambda^\nu{}_{\nu'} x^{\nu'}$. То есть нужно сочетать не только четыре составляющие $V = \mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}t$но и двенадцать других производных, чтобы получить $V'$. ¹

Теперь, если вы пытались использовать$t$скорее, чем$t'$ везде вы различали, независимо от того, различали вы или нет$X$или$X'$, все бы получилось. Но скорости, определенные таким образом, будут иметь хорошие свойства (такие как единичная норма) только в одной системе координат, а вся идея относительности состоит в том, что вы можете заниматься физикой в ​​любой системе координат, если вы последовательны.

---

На языке тензоров это потому, что$V$и$V'$являются всего лишь четырьмя компонентами из шестнадцати тензора ранга 2. В общем, вам нужны все компоненты тензора, чтобы найти любой из них в другом кадре.$U$и$U'$, с другой стороны, являются тензорами ранга 1 (также известными как векторы), поэтому, если у вас есть все четыре компонента$U$, вы можете легко найти любой/все компоненты$U'$.