Понимание разницы между ко- и контравариантными векторами

Контравариантные векторы являются «стандартными» векторами. Ковариантные векторы - это линейные приложения к контавариантным векторам, производящие скаляры.

Начнем с первого случая. Если починить пару баз$\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$и$\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$в конечномерном векторном пространстве$V$с размером$n$, такой, что$e_i = \sum_j {A^j}_i e'_j$для набора коэффициентов${A^j}_i$образуя (обязательно) неособую матрицу$A$, у вас есть для данного вектора$v \in V$:

$$v = \sum_i v^i e_i = \sum_j v'^j e'_j$$ и таким образом $$\sum_i v^i \sum_j {A^j}_i e'_j = \sum_j v'^j e'_j$$ так что: $$\sum_j \left( \sum_i {A^j}_i v^i\right) e'_j = \sum_j v'^j e'_j\:.$$ Уникальность компонентов $v$уважение к $\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$в конечном итоге влечет за собой: $$v'^j = \sum_i {A^j}_i v^i\qquad \mbox{where}\quad e_i = \sum_j {A^j}_i e'_j\tag1$$ Это не что иное, как стандартное правило преобразования компонент данного контравариантного вектора при изменении базиса декомпозиции.

Перейдем к рассмотрению ковариантных векторов. Как я сказал выше, ковариантный вектор — это не что иное, как линейная карта$\omega : V \to R$($R$можно заменить на$C$при работе с комплексными векторными пространствами или соответствующим кольцом при рассмотрении модулей). Легко доказать, что набор линейных приложений с действительными значениями, как указано выше, образует векторное пространство,$V^*$, так называемое двойственное пространство$V$. Если$\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$является основой$V$, есть связанный базис

$$\{e^{*i}\}_{i=1,\ldots,n}$$ из $V^*$, дуальный базис , определяемый требованиями (помимо линейности): $$e^{*k}(e_i) = \delta^k_i\tag2$$ Следовательно, ковариантный вектор $\omega \in V^*$всегда можно разложить следующим образом: $$\omega = \sum_k \omega_k e^{*k}$$ и, используя линейность, (2), и $$v = \sum_i v^i e_i$$ это видно $$\omega(v) = \sum_k \omega_k v^k\:.$$ РГО не зависят от выбора базиса $\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$и соответствующий $\{e^{*i}\}_{i=1,\ldots,n}$даже если компоненты ковариантных и контравариантных векторов $\omega$и $v$зависят от рассматриваемых оснований. Очевидно, изменение основы в $V$и переходя к $\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$относится к $\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$через (1), $\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$оказывается, соответствует дуальному базису $\{e'^{*i}\}_{i=1,\ldots,n}$. Прямое вычисление, основанное на (2), показывает, что $$e^{*i} = \sum_j {B_j}^i e'^{*j}$$ где $$B= \left(A^T\right)^{-1}\:.\tag3$$ Следовательно, для ковариантного вектора $$\omega = \sum_i \omega_i e^{*i} = \sum_j \omega'_j e'^{*j}$$ где $$\omega'_j = \sum_j{B_j}^i \omega_i\:.\tag4$$ Это соотношение вместе с (3) есть не что иное, как стандартное правило преобразования компонент данного ковариантного вектора при смене базиса декомпозиции.

Эта структура редко появляется в классической физике, где обычно имеют дело с ортонормированным базисом. Причина в том, что при смене базиса и переходе к другому ортонормированному базису матрица$A$связывание оснований находится в ортогональной группе, так что:

$$B= \left(A^T\right)^{-1} =A\:.\tag3$$ и нельзя, работая по компонентам, различить ковариантные и контравариантные векторы, так как первые в (1) и (4) фактически идентичны. Например, для фиксированной силы $F$приложено к точке со скоростью $v$, линейная карта, связывающая силу с ее мощностью в зависимости от $v$определяет ковариантный вектор, который мы могли бы указать как $"F\cdot"$ $$\pi^{(F)}: v \mapsto F\cdot v$$ где $\cdot$обозначает стандартное скалярное произведение в евклидовом пространстве покоя системы отсчета.

Если (вещественное конечномерное!) векторное пространство$V$снабжен, как правило, неопределенным скалярным произведением , то есть невырожденным симметричным билинейным отображением$g : V \times V \to R$, естественная идентификация$V$и$V^*$возникает. Это не что иное, как линейная и биективная карта, связывающая контравариантные векторы с ковариантными векторами:

$$V \ni v \mapsto g(v, \:\:)\in V^*$$ Где, очевидно $g(v, \:\:) : V \ni u \mapsto g(v, u)\in R$оказывается линейным и, таким образом, определяет элемент $V^*$как сказано. В компонентах, если $u= \sum_i u^i e_i$и $s= \sum_i s^i e_i$, имеется в виду свойство билинейности, выполняемое $g$: $$g(u,s) = \sum_{i,j} g_{ij} u^is^j\qquad \mbox{where}\quad g_{ij} := g(e_i,e_j)\:.$$ Матрица элементов $g_{ij}$симметрична и неособа (как $g$симметричен и невырожден). Из этого определения легко видеть, что если $u\in V$является контравариантным вектором, ассоциированный ковариантный вектор $g(u,\:\:)\in V^*$имеет компоненты: $$g(u, \:\:\:)_k= \sum_ig_{ki}u^i$$ так что скалярное произведение $g(u,v)$из $u$и $v$также можно написать: $$g(u,v)= \sum_{ij} g_{ij}u^iv^j = \sum_i v_i u^i\:.$$

Наконец, изменив базис, вы получите следующее:

$$g(u,s) = \sum_{i,j} g'_{lm} u'^ls'^m\qquad \mbox{where}\quad g'_{lm} := g(e'_l,e'_m)\:,$$ и $$g'_{lm} = \sum_{ij}{B_l}^i {B_m}^j g_{il}\:.$$

Ковариантные и контравариантные векторы можно рассматривать как разные разновидности векторов в физике. Большинство векторов, которые встречаются в обычной классической физике, такие как положение, скорость и т. Д., Контравариантны, тогда как оператор градиента (который удивительно похож на вектор; посмотрите на большинство векторных тождеств) является ковариантным вектором. Чтобы быть более математически строгим, они образуют дуальные пространства друг друга, как пространства бра и кет в квантовой механике.

Чтобы получить формальное представление о том, чем отличаются ковариация и контравариантность, вы должны увидеть, как меняются соответствующие векторы при преобразовании. См., например: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors Внимательно прочитайте раздел определений. В качестве очень простого примера ковариантный вектор вектора-столбца является вектором-строкой. Для комплексного числа аналогичное определение дает его сопряженное.

Когда дело доходит до внутренних продуктов, это обычно зависит от того, с каким пространством вы работаете. Если это матрицы, то скалярный продукт определяется одним способом. Если вы работаете с гильбертовым пространством, внутренний продукт определяется как интеграл от бра и кет-вектора по всему пространству.

В специальной теории относительности внутренний продукт обычно определяется на основе метрики.

$$\left\langle \vec{A} \mid\vec{B} \right\rangle=\eta_{{\mu\nu}}A^{\mu}B^{\nu}$$

Это можно рассматривать как умножение матрицы$\eta$с матрицами$A,B$.

Метрика также полезна при повышении и понижении матриц.