В общей теории относительности два псевдоримановых многообразия физически эквивалентны, если они изометричны или просто диффеоморфны?

Действительно, «инвариантность диффеоморфизма» ОТО в физике в этом контексте означает на надлежащем математическом языке, что изометрические (псевдо)римановы многообразия физически эквивалентны. На мой взгляд, эта путаница между «диффеоморфизмом» и «изометрией», вероятно, связана с тем, что физики обычно рассматривают многообразие в координатах, а изменение координат можно понимать как автодиффеоморфизм от многообразия к самому себе, где источник несет один выбор. карт координат и цели другой.

При таком изменении метрика и все поля естественным образом преобразовываются через pushforward, и мы, по сути, определяем диффеоморфизм как изометрию, так что поля на цели с новыми координатами эквивалентны полям на источнике. Таким образом, лозунг «изменение координат» = «инвариантность диффеоморфизма», но природа изменения координат означает, что диффеоморфизм всегда дополнительно повышается до изоморфизма в любой категории многообразий, в которой мы в настоящее время движемся.

Эта «инвариантность к диффеоморфизму» категорически не является особым свойством ОТО: всякая правильная физическая теория не заботится о выбираемых нами координатах.$\phi^4$-теория и теория Янга-Миллса точно так же инвариантны к диффеоморфизму в этом смысле, как и ОТО, только диффеоморфизм выдвигает вперед не метрику, а скалярное поле и калибровочную связность соответственно.

К сожалению, фраза «инвариантность диффеоморфизма» иногда также используется в другом контексте, а именно для того, что более точно является локальной лоренц-инвариантностью ОТО (по крайней мере, в формализме спиновой связи). А именно, диффеоморфизм индуцирует отображение на всех тензорах через свой якобиан (или, говоря более математически, (ко)касательное отображение), и ОТО также проявляет инвариантность относительно преобразований только из этого (ко)касательного отображения , т.е.$\mathrm{GL}(n-1,1)$(или$\mathrm{SO}(n-1,1)$) калибровочная теория, хотя и необычная, главный пучок которой спаян. Подробнее об этом см. в этом моем ответе на ваш более ранний вопрос.

Согласно ACuriousMind, физики и математики действительно используют слова «диффеоморфизм» и «изометрия» несовместимыми способами. Я очень удивлен, что никогда не слышал об этом раньше, потому что это кажется важным моментом, о котором стоит упомянуть. Более того, это довольно запутанно, потому что в обоих случаях «изометрия» является частным случаем «диффеоморфизма», но они «смещены»: математическая «изометрия» является физическим «диффеоморфизмом». Поскольку ACuriousMind дал часть этой информации в комментариях, для постоянства вот таблица перевода между двумя вариантами использования:

Обратите внимание, что во второй цитате Кэрролла он прямо говорит, что поля метрики и материи трансформируются. Поэтому диффеоморфизм, по его определению, есть не что иное, как переименование точек. Может показаться излишне запутанным то, что он говорит об отображении многообразия M в себя. Если мы определяем многообразие обычным способом, с помощью топологии множества точек, то у нас действительно могут быть многообразия, которые отличаются друг от друга в том смысле, что множество точек отличается, но гомеоморфны как многообразия. Затем, если мы говорим о диффеоморфизме от M к N, становится немного яснее, что мы также должны преобразовывать метрику — иначе метрика была бы функцией, у которой даже нет подходящей области определения для работы с N.

Более того, как обсуждалось здесь, общие диффеоморфизмы не отображают геодезические [...] в геодезические - это делают только изометрии.

Согласно определениям Кэрролла, диффеоморфизмы отображают геодезические в геодезические. Например, предположим, что мы делаем диффеоморфизм плоскости из декартовых координат в полярные координаты. Линия, являющаяся геодезической в ​​метрике$ds^2=dx^2+dy^2$также является геодезической относительно метрики$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, что вы получаете, когда преобразуете метрику в соответствии с диффеоморфизмом. Это не геодезическая под метрикой$ds^2=dr^2+d\theta^2$, что вы получите, если не будете преобразовывать метрику и предположите, что существует некоторое естественное соответствие между точкой$(x,y)$и точка$(r,\theta)$.

1) Вселенная Гёделя$G$имеет (с точностью до гомеоморфизма) вид$S\times T$где$S$гомеоморфна${\mathbb R}^3$и$T$гомеоморфна${\mathbb R}^1$. Но для любого$n\neq 4$, каждое многообразие гомеоморфно${\mathbb R}^n$также диффеоморфно${\mathbb R}^n$. Поэтому$G$диффеоморфен${\mathbb R}^3\times{\mathbb R}^1={\mathbb R}^4$, а значит, диффеоморфно пространству Минковского$M$.

Но$G$и$M$определенно не изометричны и, конечно же, физически не эквивалентны ни в каком правдоподобном смысле. Таким образом, есть контрпример к «диффеоморфному подразумевает изометричность» и контрпример к «диффеоморфный подразумевает физически эквивалентный».

2) Это не строго математический аргумент, но: должно существовать большое количество пространств-времен, которые существовали примерно до 1980 года и явно гомеоморфны${\bf R}^4$. Где-то в начале 1980-х годов Майкл Фридман поразил математический мир, доказав, что существуют многообразия, гомеоморфные${\mathbb R}^4$но не диффеоморфно${\mathbb R}^4$. Это вызвало поиск примеров. Держу пари, что если бы любое из этих известных пространств-временей было примером, кто-нибудь вскоре обнаружил бы этот факт и обнародовал его. Тот факт, что я никогда не слышал о таком результате, наводит меня на мысль, что каждое из этих пространств-времен на самом деле диффеоморфно${\mathbb R}^4$, и, следовательно, каждый из них дает еще один контрпример к «диффеоморфному подразумевает изометрический».

3) Автор, которого вы цитируете, похоже, использует слово «диффеоморфный» в значении «изометрический». Является ли это ошибкой или преднамеренно культивируемой идиосинкразией, без дополнительной информации остается открытым вопросом.

Когда многообразие поставляется без метрики, вы можете делать с ним все, что угодно, если топология одинакова и нет перегибов или гребней [спасибо @Willo] , как с мягкой, но нерушимой резиновой мембраной. Это диффеоморфизм .

Однако, когда многообразие оснащено метрикой, оно становится каким-то «жестким», как бумажная оболочка. Вы можете согнуть его только тогда, когда длины т.е. метрические на нем не изменены. Вот почему вы можете сгибать плоскую бумагу только в одном направлении; таким образом, метрика не меняется (поэтому эта кривизна является внешней , а не внутренней , как это изучается в ОТО). Это изометрия .