В чем разница между инвариантностью к диффеоморфизму и инвариантностью к репараметризации?

Инвариантность диффеоморфизма

Позволять$M$быть гладким многообразием. Позволять$\phi: M \to M$быть диффеоморфизмом. Простое свойство уравнений Эйнштейна:

$$g \in \otimes^2 TM \text{ is solution to vacuum Einstein equation} \implies \text{ so is } \phi^*g$$

Чтобы убедиться, что это правда, просто уменьшите обе части уравнения Эйнштейна на$\phi$, и воспользуемся свойством тензора Риччи$\phi^*Ric_{(g)} = Ric_{(\phi^*g)}$.

У тебя есть семья$[g] \equiv \{\phi^*g | \phi \in Diff^+(M)\}$римановых структур на вашем многообразии, которые должны описывать одну и ту же физику. Это то, что я бы назвал понятием инвариантности диффеоморфизмов в общей теории относительности.

Репараметризационная инвариантность

Параметризация одного многообразия$M$другим коллектором$N$является диффеоморфизмом$\varphi: M \to N$.$N$параметризует$M$в том смысле, что точки$p \in M$плавно соответствуют точки в$\varphi(p) \in N$.

Репараметризационная инвариантность обычно означает сценарий, в котором выбор этого диффеоморфизма$\varphi \in Diff(M \to N)$не имеет значения.

Вот простой пример того, что люди могут назвать репараметризационной инвариантностью.

Возьмите плавную кривую$\gamma: [0, 1] \to M$, и предположим, что$\gamma$решает геодезическое уравнение. Позволять$\gamma': [0, 1] \to M$— другая кривая, имеем следующий (тривиальный) факт

$$\text{ $image(\gamma') = image(\gamma)$ } \implies \gamma' \text{ is also a geodesic}$$

то есть геодезическое уравнение (функционал длины, а не функционал энергии) не заботится о том, как вы параметризуете свою кривую.

Иногда это одно и то же

Подводя итог, я представил инвариантность к диффеоморфизму как утверждение о римановых структурах на многообразии, а инвариантность к репараметризации как утверждение о диффеоморфизме от одного многообразия к другому. Есть несколько сценариев, когда эти, казалось бы, разные понятия на самом деле являются одним и тем же.

Пример 1: Репараметризация кривой

Рассмотрим наше описание инвариантности диффеоморфизма применительно к$1$-многообразие. римановы структуры на$1$-многообразия эквивалентны репараметризациям кривой. Вытягивание риманова скалярного произведения на касательном расслоении с помощью гладкого отображения эквивалентно гладкой репараметризации кривой. Таким образом, наше понятие инвариантности к диффеоморфизму и инвариантности к репараметризации — это одно и то же.

Пример 2. Пространство модулей замкнутых ориентируемых поверхностей.

Позволять$\Sigma$быть замкнутой ориентируемой поверхностью. Скажем, нас интересует пространство$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n}$всех подмногообразий$\mathbb R^n$диффеоморфно$\Sigma$.

Один из способов сделать это пространство явным — рассмотреть диффеоморфизмы

$$e: \Sigma \to \mathbb R^n$$

Но некоторые из этих диффеоморфизмов отображаются в одно и то же подмногообразие в$\mathbb R^n$. Это в точности диффеоморфизмы, связанные предкомпозицией с диффеоморфизмом на самой поверхности. Следовательно, мы имеем описание нашего пространства модулей как классов эквивалентности диффеоморфизмов

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq E \equiv \{e: \Sigma \to \mathbb R^n\}/\sim~~~ e \sim f \iff e = f \circ \phi ~~ \text{ for some } \phi \in Diff(\Sigma)$$

Теперь дайте$\mathbb R^n$обычная евклидова метрика$g_{\mathbb R^n}$. Диффеоморфизм$e: \Sigma \to \mathbb R^n$возвращает метрику к$\Sigma$с помощью$g_e \equiv e^*g_{\mathbb R^n}$. Наблюдать:

$$g_{e \circ \phi} = (e \circ \phi)^*g = \phi^*g_e$$

В частности, когда$\phi \in Diff(\Sigma)$, это говорит о том, что обратные образы гомеоморфизмами в одном и том же классе эквивалентности связаны обратными образами гомеоморфизмами на поверхности. Следовательно, другим эквивалентным описанием пространства модулей является

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq F \equiv \{g \text{ metric on } \Sigma\}/\sim~~~ g \sim h \iff g = \phi^*h ~~ \text{ for some } \phi \in Diff(\Sigma)$$

В общем, мы нашли

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq E \simeq F$$

Наблюдать сейчас

• Отношение эквивалентности в$E$является идентификацией гомеоморфизмов, имеющих одинаковый образ. Мы бы назвали это репараметризационной инвариантностью.
• Отношение эквивалентности в$F$является прообразом метрики диффеоморфизмами на$\Sigma$. Мы назвали бы это инвариантностью к диффеоморфизму.

Иными словами, в этом случае диффеоморфизм-инвариантность есть проявление репараметризационно-инвариантности на пространстве римановых метрик.