Актуальны ли постоянные члены вторичного квантования?

Question

Актуальны ли постоянные члены вторичного квантования?

Физика
гамильтониан
конденсированное вещество
зеленые функции
вторичное квантование

РазбойникДодекаэдр

У меня довольно широкий вопрос и конкретная проблема. Возьмем ортонормированный одночастичный базис $\{ \vert i \rangle \}$ , простой одночастичный гамильтониан

\tilde{ЧАС} "=" \sum_{я, Дж} {час}_{я Дж} | я ⟩ ⟨ Дж |

$\tilde{H} = \sum_{i, j} h_{i j} \vert i \rangle \langle j \vert$ и его вторично-квантованная форма

ЧАС "=" \sum_{я, Дж} {час}_{я Дж} а_{я}^{†} а_{Дж} .

$H = \sum_{i, j} h_{ij} a^\dagger_i a_j ~.$ Теперь я добавляю константу

C

$C$ , т.е.

H_{C} = \sum_{i, j} h_{i j} a_{i}^{†} a_{j} + C .

$H_C = \sum_{i, j} h_{ij} a^\dagger_i a_j + C ~.$ Общий вопрос заключается в том, актуальна ли эта константа. Есть ли эффект? Как быть с постоянным оператором в фоковском пространстве? Что такое одночастичная версия

{\tilde{H}}_{C}

$\tilde{H}_C$ ? Мне не удалось найти литературу по этому поводу. Такие константы иногда появляются, когда нужно определить гамильтониан с определенной симметрией, например симметрией частица-дырка, и, насколько я могу судить, эти константы игнорируются или считаются неважными.

Конкретная проблема, почему я хочу знать о последствиях этих констант, заключается в следующем. (Не беспокойтесь о деталях, просто сосредоточьтесь на гамильтониане.) Одночастичная функция Грина с мнимым временем определяется как

г_{к л} (т) "=" - \frac{1}{Z} Т р (е^{- β ЧАС} Т а_{к} [т] а_{к}^{†}),

$G_{k l}(\tau) = - \frac{1}{Z} \mathrm{Tr}(e^{-\beta H} \mathcal{T} a_k[\tau] a^\dagger_k) ~,$ с

Z = T r (e^{- β H})

$Z = \mathrm{Tr}\left( e^{-\beta H} \right)$ ,

β = 1 / T

$\beta = 1/T$ и

a_{k} [τ] = e^{τ H} a_{k} e^{- τ H}

$a_k[\tau] = e^{\tau H} a_k e^{-\tau H}$ . Его преобразование Фурье определяется как

г_{к л} (я ю) "=" \int_{0}^{β} г т е^{я ю т} г_{к л} (т) .

$G_{k l}(i \omega) = \int_0^\beta d\tau e^{i \omega \tau} G_{k l}(\tau) ~.$ Они выполняют отношения

\begin{aligned} \partial_{т} г_{к л} (т) & "=" - дельта (т) {дельта}_{к л} - \sum_{м} {час}_{к м} г_{м л} (т) \\ (1) & {дельта}_{к л} & "=" \sum_{м} (я ю \cdot {дельта}_{к м} - {час}_{к м}) г_{м л} (я ю) . \end{aligned}

$\begin{align} \partial_\tau G_{k l}(\tau) &= -\delta(\tau) \delta_{k l} - \sum_{m} h_{k m} G_{m l}(\tau) \\ \delta_{k l} &= \sum_{m} (i\omega \cdot \delta_{k m} - h_{k m}) G_{m l}(i\omega) ~. \tag{1} \end{align}$ Мы видим, что

G (i ω)

$G(i\omega)$ -- понимается как матрица -- обратна

Q

$Q$ с

Q_{k l} := (i ω \cdot δ_{k l} - h_{k l})

$Q_{k l} := (i\omega \cdot \delta_{k l} - h_{k l})$ . Другой подход дает резольвента

G (z) = (z - \tilde{H})^{- 1}

$\mathcal{G}(z) = (z - \tilde{H})^{-1}$ . Затем

G_{k l} (i ω) = ⟨ k | (i ω - \tilde{H})^{- 1} | l ⟩

$\mathcal{G}_{k l}(i \omega) = \langle k \vert (i \omega - \tilde{H})^{-1} \vert l \rangle$ что, по-видимому, удовлетворяет уравнению (1) и поэтому

G_{k l} (i ω) = G_{k l} (i ω)

$\mathcal{G}_{k l}(i \omega) = G_{k l}(i\omega)$ . Это полезное отношение, которое несколько раз использовалось в предыдущих исследованиях студентов и моих исследованиях.

Теперь, что произойдет, если мы используем $H_C$ вместо $H$ в определениях $G(\tau)$ и $\mathcal{G}$ ? Наивно я ожидал, что константа выпадет из $G(\tau)$ как оно появляется в перечислителе и знаменателе и может быть вынесено за скобки. Но я не вижу ничего подобного для $\mathcal{G}$ . Равенство больше не выполняется?

юггиб

Оператор идентификации

I d

$\mathrm{Id}$ пространства Фока действует как тождество на любом подпространстве с неподвижными частицами (это очень легко доказать), поэтому

C = C I d

$C=C\mathrm{Id}$ действует на одночастичное подпространство как умножение на

C

$C$ . Как и в КМ, константа не так актуальна, поскольку она не меняет динамику, однако иногда она полезна: например, в модели Нельсона , где вычитание константы (которая в пределе становится бесконечной) необходимо для перенормировки гамильтониана.

РазбойникДодекаэдр

@yuggib Хорошо, да, я догадался, что он действует так, но не был уверен. Спасибо. В данном случае это означает, что константа индуцирует энергетический сдвиг

h_{i i}

$h_{i i}$ , и это, вероятно, не просто исключает функцию Грина мнимого времени. Так что равенство все же сохраняется. Это лучше, чем ничего, но мне все еще нужен аргумент, почему это игнорировалось и игнорируется в до сих пор исследованиях. Они не упомянули об этом. В моем гамильтониане есть взаимодействие

\propto (a_{i}^{†} a_{j} - 1) (a_{k}^{†} a_{l} - 1)

$\propto (a^\dagger_i a_j - 1)(a^\dagger_k a_l -1)$ и мы просто игнорируем получившийся +1, хотя это оператор... хм.

Ответы (1)

Актуальны ли постоянные члены вторичного квантования?

Оператор идентификации $\mathrm{Id}$ пространства Фока действует как тождество на любом подпространстве с неподвижными частицами (это очень легко доказать), поэтому $C=C\mathrm{Id}$ действует на одночастичное подпространство как умножение на $C$ . Как и в КМ, константа не так актуальна, поскольку она не меняет динамику, однако иногда она полезна: например, в модели Нельсона , где вычитание константы (которая в пределе становится бесконечной) необходимо для перенормировки гамильтониана.
@yuggib Хорошо, да, я догадался, что он действует так, но не был уверен. Спасибо. В данном случае это означает, что константа индуцирует энергетический сдвиг $h_{i i}$ , и это, вероятно, не просто исключает функцию Грина мнимого времени. Так что равенство все же сохраняется. Это лучше, чем ничего, но мне все еще нужен аргумент, почему это игнорировалось и игнорируется в до сих пор исследованиях. Они не упомянули об этом. В моем гамильтониане есть взаимодействие $\propto (a^\dagger_i a_j - 1)(a^\dagger_k a_l -1)$ и мы просто игнорируем получившийся +1, хотя это оператор... хм.

Хиггсс · Answer 1

Постоянная $C$ не является частью одночастичного гамильтониана. Это то, что называется энергией вакуума, и ее эффект не заметен, если мы не рассмотрим гравитацию.

Чтобы быть конкретным, добавление этой константы к гамильтониану делает $e^{-\beta H}\,\rightarrow e^{-\beta C}e^{-\beta H}$ и $Z=\rm{Tr}(e^{-\beta H})\, \rightarrow\, e^{-\beta C} Z$ . То есть один и тот же фактор $e^{-\beta C}$ вводится как в числитель, так и в знаменатель выражения для функции Грина в мнимом времени, и они сокращаются.

Обновление: OP считается гамильтонианом формы $H = \sum_{ij} h_{ij} |i\rangle\langle j|$ , что переводится в $H = \sum_{ij} h_{ij} a_{i}^{\dagger} a_{j}$ при втором квантовании. Если мы назовем это одночастичным членом в гамильтониане, неизбежно, что $n$ -термин частицы должен быть тем, что состоит из $n$ создание и $n$ операторы уничтожения во второй квантованной форме.

Согласно этому определению, $n$ -частичный член действует на подпространстве пространства Фока, соответствующем (количество частиц) $\ge n$ . В этом отношении общая константа во вторично-квантованном гамильтониане представляет собой член с нулевыми частицами или энергию вакуума.

В качестве конкретного примера рассмотрим следующий второй квантованный гамильтониан:

ЧАС "=" С + \sum_{я Дж} {час}_{я Дж} а_{я}^{†} а_{Дж} + \frac{1}{2} \sum_{я Дж к л} В_{я Дж к л} а_{я}^{†} а_{Дж}^{†} а_{л} а_{к} .

$\begin{equation} H = C + \sum_{ij} h_{ij} a_{i}^{\dagger} a_{j} + \frac{1}{2}\sum_{ijkl} V_{ijkl} a_{i}^{\dagger} a_{j}^{\dagger}a_{l} a_{k}. \end{equation}$ Тогда его первая квантованная форма, когда есть

N

$N$ частицы должны быть

ЧАС "=" С + \sum_{п "=" 1}^{Н} \sum_{я Дж} {час}_{я Дж} | я ⟩_{п} ⟨ Дж |_{п} + \sum_{п "=" 1}^{Н} \sum_{д "=" п + 1}^{Н} \sum_{я Дж к л} В_{я Дж к л} | я, Дж ⟩_{п, д} ⟨ к, л |_{п, д},

$\begin{equation} H = C + \sum_{p=1}^{N}\sum_{ij} h_{ij} |i\rangle_{p}\langle j|_{p} + \sum_{p=1}^{N}\sum_{q=p+1}^{N} \sum_{ijkl}V_{ijkl} |i,j\rangle_{p,q}\langle k,l|_{p,q}, \end{equation}$ где

| i ⟩_{p}

$|i\rangle_{p}$ является состоянием в одночастичном гильбертовом пространстве

p

$p$ частица, тогда как

| i, j ⟩_{p, q}

$|i,j\rangle_{p,q}$ есть состояние в двухчастичном гильбертовом пространстве

p

$p$ й и

q

$q$ й частицы (

p < q

$p<q$ ).

Действовать только на вакууме $\Omega$ , он должен иметь вид $C \lvert\Omega\rangle\langle\Omega\rvert$ . Обычно, когда вы пишете число как оператор, вы предполагаете, что оно умножается на оператор тождества, поэтому оно действует на любой вектор как умножение на $C$ , так и одиночные частицы.
@yuggib Энергия вакуума присутствует независимо от количества частиц в системе. Следовательно, это действительно оператор, пропорциональный тождеству, действующий на пространстве Фока.
тогда он также является частью одночастичного гамильтониана, поскольку действует и на это подпространство.
@yuggib Думаю, нам следует уточнить, что мы подразумеваем под одночастичным гамильтонианом. Для меня это означает термин формы $H_{1} = \sum_{ij} h_{ij} a_{i}^{\dagger}a_{j}$ . Точно так же двухчастичный гамильтониан будет иметь вид $H_{2} = \tfrac{1}{2}\sum_{i,j,k,l} h_{ijkl} a_{i}^{\dagger}a_{j}^{\dagger}a_{l}a_{k}$ . С другой стороны, энергия вакуума — это просто постоянная величина.
Для меня, как и для ОП, это ограничение гамильтониана на одночастичное подпространство. Однако это всего лишь вопрос терминологии.
@yuggib OP предположил, что гамильтониан одной частицы $\hat{H} = \sum_{ij} h_{ij} |i\rangle\langle j|$ в первом квантованном виде переводится в $H = \sum_{ij} h_{ij} a_{i}^{\dagger}a_{j}$ во втором квантованном варианте. Заметим, что согласно этому правилу тождественный оператор при первом квантовании, т. е. $\sum_{i} |i\rangle\langle i|$ , становится оператором общего числа $\sum_{i} a_{i}^{\dagger} a_{i}$ при втором квантовании. При этом энергия вакуума не должна фигурировать в одночастичном гамильтониане, так как она является тождественным оператором во всем фоковском пространстве.
Позволять $\mathscr{H}_1$ — одночастичное подпространство. $H\bigr\rvert_{\mathscr{H}_1}=\hat{H}$ ; пока $(H+C)\bigr\rvert_{\mathscr{H}_1}=\hat{H} +C$ . Очевидно, что $C$ влияет на одночастичное подпространство, даже если оно не записано в виде второго квантованного оператора. Процедура вторичного квантования является удобным математическим аппаратом, но физически релевантным оператором является $H$ .
@yuggib Я не возражаю против твоей математики. Дело в том, что оператор энергии вакуума действует одинаково на нуль-, одно-, двух-, ... подпространствах частиц. Одночастичный гамильтониан состоит, например, из кинетической энергии. Если мы имеем $N$ частицы, мы имеем $N$ кинетические энергии. С другой стороны, энергия вакуума всегда является фиксированной константой. $C$ независимо от количества частиц. Если вы настаиваете на своем определении термина «одночастичный гамильтониан», я не буду спорить с ним, потому что это, в конечном счете, вопрос предпочтений, хотя я нахожу это несколько неудобным.
важно то, что мы согласны с математикой, остальное - терминология, как вы говорите ;-).
Я обсуждал эту тему со студентами из CM и PP, и я думаю, что она сводится к проблеме определения: постоянный член в гамильтониане не учитывался в формализме - и его выводе - который я использую. Отсюда и непонятно, как $\tilde{H}_C$ определено. Кроме того, в моих формулах появляется сумма по всем взаимодействиям, и обычно только конечное число взаимодействий не равно нулю. Система бесконечно велика, и если я сдвину все взаимодействия на $+C$ - в зависимости от определения - то сумма расходится. Так что я думаю, они просто проигнорировали $C$ или, другими словами, измеренные энергии относительно $C$ .
@hauntergeist Перенос всех взаимодействий на $C$ конечно нефизичен. Если ваш второй квантизированный гамильтониан задается как $\sum_{ij} h_{ij} a_{i}^{\dagger}a_{j} + C$ , этот $C$ не должен проявляться в своей первой квантованной форме $\sum_{ij} h_{ij} |i\rangle\langle j|$ .
@hauntergeist Я обновил свой ответ. Я надеюсь, что это достаточно ясно.
@higgsss Я полагаю, что $\vert i \rangle_p \langle j \vert_p = 1 \otimes \ldots \otimes 1 \vert i \rangle_p \langle j \vert_p \otimes 1 \ldots \otimes 1$ и $\vert i, j \rangle_{p, q}$ является (анти)симметричным. Да, ваша первая квантованная форма гамильтониана с фиксированным числом имеет смысл. Затем $C$ нельзя просто рассматривать как одночастичный термин $\vert i \rangle_p \langle j \vert_p$ , и я думаю, что предыдущие исследователи имели в виду $\tilde{H}$ в $\mathcal{G}$ . Может быть, вы могли бы предоставить ссылку, где подробно объясняется связь между первым и вторым квантованием.
И сдвиг взаимодействия, о котором я упоминал ранее, — это волы.
@hauntergeist Конечно. $|i\rangle_{p}\langle j|_{p}$ должны сопровождаться тождествами, действующими на гильбертовых пространствах других частиц. Однако нет необходимости (анти) симметрировать многочастичные состояния при первом квантовании. Это нормально, пока гамильтониан инвариантен относительно обмена метками частиц. Второе квантование возникает, когда мы ограничиваем наше внимание подпространствами, состоящими из состояний, которые являются бозонными (фермионными) при обмене метками частиц, и соответствующим образом определяем операторы рождения/уничтожения, соединяющие подпространства, соответствующие разным числам частиц.
@hauntergeist Не совсем уверен в лучшей ссылке, обсуждающей связь между 1-м и 2-м квантованием. Я лично нашел Fetter & Walecka и Negele & Orland полезными.

Актуальны ли постоянные члены вторичного квантования?

РазбойникДодекаэдр

юггиб

РазбойникДодекаэдр

Ответы (1)

Хиггсс

юггиб

Хиггсс

юггиб

Хиггсс

юггиб

Хиггсс

юггиб

Хиггсс

юггиб

РазбойникДодекаэдр

Хиггсс

Хиггсс

РазбойникДодекаэдр

РазбойникДодекаэдр

Хиггсс

Хиггсс

Преобразование Боголюбова с небольшим изюминкой

Уравнения Хедина и энергия основного состояния

Дельта-потенциал с точки зрения операторов уничтожения/творения

Функция запаздывающего зеленого в расширенном базисе намбу

Связь между функцией Грина и ее гамильтонианом

Концептуальный вопрос о трактовке взаимодействия функцией Грина

Как вычислить плотность состояния по функции Грина?

Размерности при втором квантовании оператора

Эрмитово сопряжение в термине перескока модели Хаббарда

Спектр цепи Китаева (неспаренные майорановские фермионы в квантовых проволоках) [закрыто]