Как вычислить плотность состояния по функции Грина?

Я хотел бы построить график плотности состояния (DOS) для конкретной системы, скажем, сверхпроводника s-волны BCS, функция Грина которого

г ( п , ю ) "=" ю + ξ ю 2 − ξ 2 − Δ 2

как дано, например, в книге Абрикосова, Горькова и Дзялошинского, уравнение (34.16), где ξ ≈ в Ф ( п − п Ф ) представляет кинетическую энергию от химического потенциала Е Ф "=" в Ф п Ф ,, п это импульс, ℏ ю это энергия и Δ сверхпроводящая щель.

Частое определение DOS:

р "=" 1 π лим дельта → 0 ℑ { ∫ г п г р ( ю + я дельта ) }

используя запаздывающую функцию Грина (возможно, с другим коэффициентом пропорциональности и/или знаком, но я думаю, что это не главное). Так называемая запаздывающая функция Грина г р определяется как функция Грина, аналитическая в верхней полукомплексной плоскости.

  • Как вычислить и/или построить DOS р от г ?

  • Вспомогательный, как увидеть состояние при нулевой энергии в p-волновом сверхпроводнике? В этом случае функция Грина выглядит примерно так:

    г "=" ю + п 2 − п Ф 2 2 м ю 2 − ( п 2 − п Ф 2 2 м ) 2 − ( Δ п ) 2

Спасибо за любой комментарий, который помогает улучшить этот вопрос. Помог бы и любой другой пример, кроме сверхпроводимости, трактуемой педагогически.

Еще несколько деталей: приведенная выше функция Green проверяет

[ ( я ℏ ∂ Δ − Δ † − я ℏ ∂ ) + ℏ 2 2 м ∇ 2 + мю ] г ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" дельта ( Икс 1 − Икс 2 )
с
г ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" я ℏ ⟨ Т ^ ( − Ψ ( Икс 1 ) Ψ ~ † ( Икс 1 ) ) ⊗ ( Ψ † ( Икс 2 ) Ψ ~ ( Икс 2 ) ) ⟩ "=" ( г ( Икс 1 , Икс 2 ) − Ф ( Икс 1 , Икс 2 ) Ф † ( Икс 1 , Икс 2 ) г † ( Икс 1 , Икс 2 ) )
и Ψ некоторый фермионный оператор. Один определяет ξ "=" п 2 − п Ф 2 2 м ≈ в Ф ( п − п Ф ) на дороге, и человек идет в импульсное пространство, чтобы получить г ( п , ю ) выше. я не дал Ф функцию, см. ответ Meng-Cheng ниже, который содержит полный г для настоящего Δ .

Возможно, я не знаком с жаргоном конденсированных сред, но функции Грина являются объектами дифференциальных уравнений/операторов , а не систем. Является ли это двухточечной корреляционной функцией/распространителем?
@ACuriousMind Извините за неявность. Я добавляю более подробную информацию о вопросе.

Ответы (1)

Вы не включили правильную бесконечно малую мнимую часть для частоты в первое уравнение для функции Грина, что дало бы правильные структуры полюсов. Поэтому неясно, является ли это упорядоченным по времени, отсталым или продвинутым. Запаздывающая функция Грина

г р ( ю , п ) "=" ю + ξ ( ю + я дельта ) 2 − ξ 2 − Δ 2

Вы можете либо получить это напрямую, либо выполнить аналитическое продолжение функции Мацубары (мнимое время) Грина.

Мнимая часть это

ℑ г "=" − π ( ю + ξ ) ( дельта ( ю − ξ 2 + Δ 2 ) + дельта ( ю + ξ 2 + Δ 2 ) )

Другая проблема заключается в том, что в сверхпроводнике функция Грина на самом деле является матрицей. Тот, который у вас есть, вероятно, просто ⟨ с с † ⟩ . Плотность состояния определяется мнимой частью следа матричной функции Грина. Полная функция Грина определяется выражением

ю + ξ т г + Δ т Икс ю 2 − ξ 2 − Δ 2

Здесь т являются матрицами Паули в пространстве Намбу (частица-дырка).

Для п -волновые сверхпроводники, ну, как только вы запишете функцию Грина в импульсном пространстве, вы предполагаете трансляционную инвариантность и постоянную сверхпроводящую щель повсюду. Состояние с нулевой энергией возникает только на дефектах, где параметр порядка обращается в нуль (например, в ядре вихря или на краю). Таким образом, вы не видите состояния нулевой энергии в этой конкретной функции Грина, потому что его нет. Вы должны решить уравнение БдГ в реальном пространстве или решить полное уравнение Горькова для функции Грина в реальном пространстве, чтобы получить состояние с нулевой энергией.

Как вычислить плотность состояния по функции Грина?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v