Преобразование Боголюбова с небольшим изюминкой

Это проблема собственных значений.

Предположим, ваше преобразование Боголюбова имеет вид:$(a_k,b_k)^T=X(c_k,d_k)^T$. Что делает это преобразование, так это позволяет вашему гамильтониану стать:$H_k=w_1c_k^\dagger c_k+w_2 d_k^\dagger d_k$, с соотношением антикоммутации для новых полевых операторов$c_k$и$d_k$.

Теперь вы можете проверить это$X$- это просто матрица, в которой ее столбцы - это просто нормализованные собственные векторы вашей исходной матрицы.

Замечу лишь, что данный гамильтониан не требует диагонализации преобразования Боголюбова, так как он имеет вид одночастичного оператора (все же при вторичном квантовании), т. е. не содержит «недиагональных» членов форма$a a$,...

Вы можете просто диагонализировать его, диагонализируя матрицу связи.

@leongz: хотя эта матрица также является эрмитовой для истинного случая Боголюбова, вы, как правило, получите неправильный ответ для собственных энергий и мод, если диагонализируете ее. Результирующие моды не были бы бозонными, т. е. это не было бы каноническим преобразованием. Вы можете получить правильный ответ (который намного мощнее, чем типичный анзац для операторов Боголюбова), диагонализируя$\Sigma H$, где$\Sigma$является псевдонормой симплетического пространства, над которым вы работаете. Обратите внимание, однако, что эта матрица не всегда эрмитова (и не всегда поддается диагонализации - но это физическая: для каждой моды Голдстоуна отсутствует одна бозонная мода).

Гамильтониан можно записать как

$\sum_k \psi^\dagger M \psi$

где$\psi=\begin{pmatrix}a_k \\ b_k\end{pmatrix}$и$M=\begin{pmatrix}\omega_0 & \Omega f_k^* \\ \Omega f_k & \omega_0\end{pmatrix}$.

Вводим новый набор операторов$\phi=\begin{pmatrix}c_k \\ d_k\end{pmatrix}$, с помощью$\psi=U \phi$где$U$обязательно матрица 2x2. Это дает нам

$\psi^\dagger M \psi = \phi^\dagger N \phi$

где$N = U^\dagger M U$. Мы хотим, чтобы эта новая форма гамильтониана была диагональной. ака мы желаем для матрицы$N$быть диагональным. Согласно стандартному процессу диагонализации матрицы , матрица$M$диагонализируется$M \rightarrow U^\dagger M U$где$U$– матрица с собственными векторами$M$в качестве его столбцов.

Поэтому сначала найдем собственные векторы$M$, подставьте их как столбцы в матрицу 2x2$U$, диагонализовать$M$так что$N=U^\dagger M U$, то наш диагонализированный гамильтониан равен

$H=\sum_k\phi^\dagger N \phi$

где$\phi=U^{-1} \psi$.

Спасибо @luming и @Vladimir за подсказки.

Гамильтониан уже диагонализирован по импульсу. Вам нужно определить новые Bose-операторы
$c_k = u_k a_k + v_k b_k \\ d_k = w_k a_k+x_k b_k$
Это общая форма с некоторыми комплексными константами$u_k, v_k, w_k, x_k$для каждого$k$независимо. Это также$c^+_k$и$d^+_k$, сопряженный с предыдущим. Теперь вам нужно$c_k$и$d_k$соответствуют некоторым квазичастицам, поэтому
$[c_k, c_k^+] = 1 \\ [d_k, d_k^+] = 1 \\ \text{(all other commute to zero)}$
Это уравнение дает вам некоторые ограничения на константы$u_k, v_k, w_k, x_k$. Но чтобы найти их окончательно, вы должны заменить их гамильтоновыми. После этого вы должны получить
$H = \sum_k C_1 c^+_k c_k + C_2 d^+_k d_k + C_3 c^+_k d_k + C_4 d^+_k d_k.$
Константы$C_1, C_2, C_3, C_4$полученный из$\omega_0, \Omega, f_k$и$u_k, v_k, w_k, x_k$. Затем вы должны решить$C_3 = 0, C4 = 0$уравнения для получения$u_k, v_k, w_k, x_k$. Тогда вы получите
$H = \sum_k C_1 c^+_k c_k + C_2 d^+_k d_k,$
с найденным$C_1, C_2$. На этом диагонализация завершена.