Уравнения Хедина и энергия основного состояния

Уравнения Хедина представляют собой итеративную схему для вычисления функции Грина.$G$, собственная энергия$\Sigma$, вершина$\Gamma$, поляризуемость$\chi$, и экранированное взаимодействие$W$.

Однако есть ли хорошее тождество, которое дает мне энергию основного состояния только с точки зрения$G$,$\Sigma$,$\Gamma$,$\chi$, и/или$W$?

Я знаю, что существуют приближения к уравнениям Хедина, такие как приближение GW или RPA. Здесь мы можем записать энергию основного состояния как:

$$E_0^{\text{RPA}} = \frac{1}{2\pi}\int \text d \omega \; \text{Tr} \ln\big(1-\chi(\text i \omega) V\big),$$ где $V$является кулоновским оператором.

Что, если я не буду делать никаких приближений, а решу уравнения Хедина так, что у меня будут все пять величин?$G$,$\Sigma$,$\Gamma$,$\chi$, и$W$(я знаю, что в реальной жизни это невозможно), как найти энергию основного состояния?

Просто из схемы я думаю, что это должно быть что-то вроде

$$E_0 = G\Sigma$$ или так... . Кто-нибудь может мне помочь?

PS: Я знаю, что существует формула Галицкого-Мигдала, по которой я могу записать энергию основного состояния через функцию Грина. Но в подынтегральном выражении есть операторы, поэтому уравнение нецелесообразно для реализации в компьютерном коде.