Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

Question

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

Физика
интеграл по путям
вращение фитиля
квантовая теория поля
корреляционные функции

осьминог

Я следую разделу 9.2 книги Пескина и Шредера, в котором выводятся правила Фейнмана для скалярных полей.

Они определяют (в уравнении (9.14), стр. 282) амплитуду перехода от $\vert\phi_a\rangle$ к $\vert\phi_b\rangle$ во время $T$ быть

\begin{matrix} (1) & ⟨ ф_{б} | е^{- я ЧАС Т} | ф_{а} ⟩ "=" \int Д ф опыт [я \int_{0}^{Т} г^{4} Икс л] . \end{matrix}

$\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right]\tag{1}.$

Затем (на странице 289) они имеют дело с $\phi^4$ теории и использовать разложение

\begin{matrix} (2) & опыт [я \int_{0}^{Т} г^{4} Икс л] "=" опыт [я \int_{0}^{Т} г^{4} Икс л_{0}] (1 - я \int г^{4} Икс \frac{ф}{4!} ф^{4} + \dots) \end{matrix}

$\exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right] = \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L_0}\right]\left(1-i\int d^4x \frac{\phi}{4!}\phi^4+\cdots\right)\tag{2}$

Каждый термин в RHS действительно имеет вид

\int Д ф ф ({Икс}_{1}) \dots ф ({Икс}_{н}) опыт [я \int_{0}^{Т} г^{4} Икс л_{0}],

$\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\cdots\phi(x_n) \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L_0}\right],$

что появляется в простом обобщении формулы (уравнение (9.18), стр. 284)

\begin{matrix} (3) & ⟨ Ом | Т ф_{ЧАС} ({Икс}_{1}) ф_{ЧАС} ({Икс}_{2}) | Ом ⟩ "=" \underset{Т \to \infty (1 - я ϵ)}{лим} (\frac{\int Д ф ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) опыт [я \int_{- Т}^{Т} г^{4} Икс л_{0}]}{\int Д ф опыт [я \int_{- Т}^{Т} г^{4} Икс л_{0}]}) \end{matrix}

$\langle\Omega\vert T\phi_H(x_1)\phi_H(x_2)\vert\Omega\rangle = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \left(\frac{\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\phi(x_2) \exp\left[i\int_{-T}^Td^4x\mathcal{L_0}\right]}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp\left[i\int_{-T}^Td^4x\mathcal{L_0}\right]}\right)\tag{3}$

Чтобы вывести правила Фейнмана, мы хотим заменить каждый член в (2) корреляционной функцией.

Что происходит со знаменателем (3)?
Кроме того, стоит ли мне беспокоиться о приеме $T\to\infty(1-i\epsilon)$ вместо $T\to \infty$ (что было бы естественным сделать в (1))?

Ответы (2)

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

Илье · Answer 1

Я думаю, что часть вашего замешательства связана с тем, что в КТП есть два разных типа вакуума. Во-первых, это вакуум свободной теории, обычно обозначаемый $|0\rangle$ , во-вторых, есть полный (взаимодействующий) вакуум, обычно обозначаемый $|\Omega \rangle$ .

Мы хотим рассчитать различные величины в полной теории, такие как:

⟨ Ом | Т ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) | Ом ⟩ .

$\begin{equation} \langle\Omega\vert T\phi(x_1)\phi(x_2)\vert\Omega\rangle. \end{equation}$

То, что вы написали в уравнении (3), на самом деле является пропагатором в свободной теории (видите, что вы используете $\mathcal{L}_0$ и не $\mathcal{L}$ как и должно быть). Это может показаться незначительным моментом, но разницу необходимо понять. (Вы, должно быть, неправильно скопировали его из уравнения (9.18) в P&S, поскольку там оно выглядит правильным.

Проблема в том, что мы не можем рассчитать это напрямую. Что мы делаем, так это, по сути, говорим: что, если полная теория почти такая же, как свободная теория, но с небольшим интерактивным членом? То есть мы занимаемся теорией возмущений. Это потому, что мы знаем распространителя свободной теории:

Δ_{Ф} ({Икс}_{1} - {Икс}_{2}) "=" ⟨ 0 | Т ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) | 0 ⟩ "=" \frac{\int Д ф ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) е^{я С_{0}}}{\int Д ф е^{я С_{0}}} .

$\Delta_F(x_1-x_2) =\langle0\vert T\phi(x_1)\phi(x_2)\vert0\rangle = \frac{\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\phi(x_2) e^{iS_0}}{\int \mathcal{D}\phi\; e^{iS_0}}.$

Хитрость заключается в том, чтобы переписать все в терминах распространителя свободной теории.

Фактический вывод полной двухточечной функции довольно сложен, но вы можете найти его на страницах P&S 82-99.

Костя · Answer 2

Начнем со второго вопроса:

Кроме того, стоит ли мне беспокоиться о приеме $T\to\infty(1-i\epsilon)$ вместо $T\to \infty$ (что было бы естественным сделать в (1))?

И давайте начнем с вопроса «почему» мы вообще делаем лимит?
Ответ таков: мы не хотим, чтобы ожидания $|\phi_a\rangle$ и $|\phi_b\rangle$ состояний - мы хотим, чтобы это было основное состояние теории взаимодействующего поля, обычно обозначаемое как $|\Omega\rangle$ . А добиться этого — непростое дело, подробно описанное в главе 4 книги. Но основная идея в том, что вы берете основное состояние $|0\rangle$ невзаимодействующей КТП и развить ее за время T.

е^{- я ЧАС Т} | 0 ⟩ "=" \sum_{н} е^{- я Е_{н} Т} | н ⟩ ⟨ н | 0 ⟩

$e^{-iHT}|0\rangle = \sum_n e^{-iE_nT}|n\rangle\langle n|0\rangle$

С $|n\rangle$ являющиеся состояниями взаимодействующих КТП. Затем вы заметите, что если вы сдвинете $T$ немного в сложном направлении, то показатели степени становятся убывающими. Последняя хитрость — взять лимит большого $\Re T$ так что только $E_0 = \langle\Omega|H|\Omega\rangle$ выживает.

Так вот причина всей этой возни с $T\to\infty(1-i\epsilon)$

Что происходит со знаменателем (3)?

Это связано с предыдущим пунктом. При выполнении процедуры у вас будет дополнительный множитель, который вы должны разделить на (см. уравнение (4.27)):

| Ом ⟩ "=" \underset{Т \to \infty (1 - я ϵ)}{лим} {(е^{- я Е_{0} Т} ⟨ Ом | 0 ⟩)}^{- 1} е^{- я ЧАС Т} | 0 ⟩

$|\Omega\rangle = \lim_{T\to \infty(1-i\epsilon)}\left(e^{-iE_0T}\langle\Omega|0\rangle\right)^{-1}e^{-iHT}|0\rangle$

Так вот откуда знаменатель.

Спасибо за Ваш ответ! Я думаю, что следую выводу (3), включая суету вокруг мнимой части, чтобы убить все другие собственные состояния энергии. Меня беспокоило то, что мы не должны делать этого в (1), где цель состоит в том, чтобы найти вероятность перехода от $t=-\infty$ к $t=+\infty$ . Другая проблема заключается в том, что знаменатель в (3), кажется, исчезает, когда мы используем уравнение (3) в (2), чтобы найти правила Фейнмана для конкретной теории.
@octopus мы просто устанавливаем амплитуду вакуума в вакуум равной 1 (в свободной теории), поэтому знаменатель равен единице! Это имеет большой физический смысл, потому что в свободной теории ничего не должно «происходить», когда вы начинаете с основного состояния.
Означает ли это, что мы определяем $\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right]$ по-другому, чтобы знаменатель ушел или есть причина, по которой знаменатель на самом деле один?

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

осьминог

Ответы (2)

Илье

Костя

осьминог

Дану

осьминог

Амплитуда перехода от вакуума к вакууму с использованием функционального интеграла

Функциональная производная для одной и той же функции, выраженная до и после поворота Вика

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Как я могу понять проблему туннелирования с помощью евклидова интеграла по путям, где квадратичная флуктуация имеет отрицательное собственное значение?

Диаграммы головастиков в теории ϕ3ϕ3\phi^3

Какова связь между статистическими и корреляционными функциями QFT?

Об интерпретации диаграмм Фейнмана

Граничные условия для гравитационного интеграла по траекториям

Вращение фитиля в теории поля — строгое обоснование?

Как рассчитать гауссовский интеграл по путям TQFT из «забавы с теорией свободного поля» Зайберга?