Какова связь между статистическими и корреляционными функциями QFT?

«Связь» исходит из формулировки интеграла по путям в квантовой механике.

Существует определенный словарь, который отображает величины из канонической формулировки в интегралы по траекториям, которые очень напоминают корреляционные функции из статистической механики. В частности, предположим, что$\varphi_1, \dots, \varphi_n$являются$n$значения некоторых физических наблюдаемых, которые соответствуют величинам, измеряемым в моменты времени$t_1 > \dots > t_n$.

Амплитуда квантового перехода определяется выражением

$$\left< 0 \right| \hat{\varphi}_1 \dots \hat{\varphi}_n \left| 0 \right>,$$

где$\left| 0 \right>$является вакуумным состоянием квантовой системы, а величины со «шляпами» представляют собой квантования физических наблюдаемых (линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве).

Он кодирует определенное вероятностное свойство квантовых систем. Например, для$n = 2$, его абсолютное значение в квадрате кодирует плотность вероятности перехода между двумя квантовыми состояниями.

На другой стороне соответствия находится континуальный интеграл

$$\int Dx e^{i \hbar^{-1} S[x]} \varphi_1[x] \dots \varphi_n[x],$$

где все количества просто числа. Выражение

$$\rho[x] = e^{i \hbar^{-1} S[x]}$$

можно рассматривать как функционал плотности вероятности, определенный на пространстве всех траекторий. Однако сходство только формальное: в отличие от плотностей вероятностей, оно комплекснозначно и, как правило, плохо определено без тонких процедур, называемых перенормировками.

Эту связь можно уточнить для КТП Вайтмана и статистической механики с помощью аксиом Остервальдера-Шредера. Однако абсолютное большинство реалистичных моделей КТП основано на калибровочной теории, для которой не существует известной аксиоматизации, поэтому связь остается лишь расплывчатой ​​догадкой.

На самом деле уточнение этого для калибровочных теорий связано с одной из задач премии тысячелетия .