Об интерпретации диаграмм Фейнмана

Диаграммы как сокращения

Давайте ненадолго отвлечемся от физики. Диаграмма Фейнмана — это графическое сокращение для такой величины, как

Каждый множитель подынтегральной функции представлен линией. Каждая переменная представлена ​​точкой, поэтому, если два фактора имеют одну и ту же переменную, их линии соединяются друг с другом. В более общем плане, как упоминалось в вопросе, факторы$A,B,C,D,E,F$в подынтегральном выражении могут также включать индексы, которые могут быть свёрнуты друг с другом различными способами, но этот простой пример иллюстрирует идею.

Как диаграммы Фейнмана возникают в физике

В физике величины вида (1) — диаграммы Фейнмана — возникают в результате использования теории возмущений как вычислительного метода в теории поля. Теория возмущений обычно используется, когда уравнения движения для полей нелинейны, что делает точные решения недостижимыми, и когда нелинейности (также называемые взаимодействиями) слабы . Затем, разлагая все по степеням коэффициента (коэффициентов) нелинейных членов, мы иногда можем получить хорошее приближение к точному решению. Теория возмущений — это искусство делать такое расширение.

Кстати, это не относится к квантовой теории поля. Диаграммы Фейнмана столь же уместны в классической теории поля. Одно отличие состоит в том, что в классической теории поля диаграммы Фейнмана не имеют петель. Петли, подобные треугольной петле на диаграмме, показанной выше, являются особенностью квантовой теории поля. В этом ответе я сосредоточусь на квантовой теории поля, где диаграммы можно интерпретировать с точки зрения частиц… ну, вроде того. Подробнее об этом ниже.

Интегралы типа (1) возникают, когда мы начинаем с корреляционной функции в полной нелинейной модели и расширяем ее по степеням силы взаимодействия — это теория возмущений. Каждая диаграмма представляет термин в этом расширении. Каждый такой член представляет собой комбинацию величин, которые мы можем точно вычислить в линейной (невзаимодействующей) версии модели. В приведенном выше примере каждый из факторов$A,B,C,D,E,F$представляет собой двухточечную корреляционную функцию в линейной версии модели. Сопоставляемые вещи являются полевыми операторами.

Вопрос в том, как все это связано с частицами ?

Диаграммы Фейнмана и частицы

В квантовой теории поля с линейными уравнениями движения полевые операторы обычно прямо связаны с частицами. Применение оператора поля к состоянию вакуума обычно дает состояние с одной частицей. В результате вакуумную корреляционную функцию произведения двух операторов поля можно интерпретировать как внутреннее произведение между двумя одночастичными состояниями. Мы можем думать о таком внутреннем произведении как об амплитуде (квадрат которой равен вероятности) для частицы, которая изначально находится здесь , чтобы быть обнаруженной там , где «здесь» и «там» могут быть разделены во времени и/или пространстве. Вот почему мы называем корреляционную функцию пропагатором.

В квантовой теории поля с нелинейными уравнениями движения полевые операторы обычно не соответствуют частицам таким простым образом. Применение оператора поля к вакуумному состоянию не создает чисто одночастичное состояние, поэтому точная двухточечная корреляционная функция (пропагатор) обычно не представляет распространение одной частицы. Однако, с некоторыми техническими оговорками, состояние, созданное оператором поля, может включать одночастичный член (как часть квантовой суперпозиции с другими членами), и мы можем извлечь желаемый одночастичный вклад в пропагатор, применяя соответствующий дифференциальный оператор к нему. Это идея формулы сокращения LSZ , выделенная в ответе пользователя 1379857.. Формула приведения LSZ связывает точное$N$-точечная корреляционная функция с амплитудой рассеяния для$N$частицы в нелинейной теории.

Однако точное вычисление корреляционных функций обычно нам не под силу, поэтому мы прибегаем к теории возмущений: разлагаем все по степеням силы взаимодействия, коэффициента при нелинейных членах в уравнениях движения. Каждый член в этом разложении имеет форму, показанную в уравнении (1), где$A,B,C,D,E,F$являются двухточечными корреляционными функциями в линейной модели с силой взаимодействия, равной нулю. В линейной модели эти линии соответствовали бы частицам, как описано выше. Но линейная модель используется здесь только как искусственный инструмент для вычисления чего-то в нелинейной модели. В нелинейной модели интерпретация этих линий как частиц обычно неверна. Эксперты часто до сих пор называют их «частицами», потому что это легко, интересно или что-то в этом роде. Иногда они будут использовать прилагательное «виртуальный» в качестве предупреждения, но это все равно просто жаргон.

Однако бывают ситуации, когда точная амплитуда рассеяния в нелинейной теории определяется одним членом разложения, и некоторые из этих ситуаций действительно связаны с физически наблюдаемым феноменом промежуточных частиц, который действительно довольно точно соответствует внутренней линии в спектре. доминирующая диаграмма Фейнмана! Кроме того, различие между этими ситуациями и более типичными ситуациями размыто. Вот почему этот ответ... нечеткий.

Чтобы действительно понять взаимосвязь между диаграммами Фейнмана и частицами, я рекомендую работать над непертурбативным пониманием частиц в квантовой теории поля. Точные непертурбативные вычисления обычно недостижимы, но мы все же можем использовать непертурбативные принципы в качестве основы того, как мы думаем о квантовой теории поля. Теория возмущений — это инструмент в наборе инструментов. Это не то, что мы пытаемся построить.

То, что связывает диаграммы Фейнмана с физическими процессами, называется «формулой редукции LSZ». В стандартном классе КТП доказательство формулы редукции LSZ (если сделано правильно) — это действительно первый раз, когда вы задаете такие вопросы, как «что такое асимптотические состояния частиц» и «что означает взаимодействие частиц». По сути, формула говорит вам, что для того, чтобы вычислить амплитуду некоторого процесса рассеяния, вы просто суммируете член из всех диаграмм Фейнмана с определенными «внешними ногами». Т.е. если вы хотите рассчитать 2-электронное --> 2-электронное рассеяние, вы суммируете все диаграммы Фейнмана с 4-мя внешними ветвями электронов. Однако есть и небольшая тонкость, заключающаяся в том, что формула ЛСЗ говорит о том, что фактически надо "ампутировать" ноги, чтобы получить амплитуду. Таким образом, даже если вы рисуете эти диаграммы, вы на самом деле не включаете пропагаторы, исходящие от внешних ног. В амплитуду рассеяния вносят вклад только внутренние ветви.