Вращение фитиля в теории поля — строгое обоснование?

1-й комментарий:

Стоит задуматься на секунду о том, откуда взялось вращение фитиля. Вы можете сделать это в контексте квантовой механики свободной частицы. В QFT все детали сложнее, но основная идея та же.

В случае свободной частицы, QM, мы получаем интеграл по путям, подставляя суммы по промежуточным состояниям в разное время. Необходимость вращения фитиля возникает, как только вы сделаете это всего один раз.

$\langle q' | e^{- \frac{ iP^2 t}{2m\hbar}}|q\rangle = \int_{-\infty}^\infty \langle q'| p \rangle \langle p |e^{- \frac{ iP^2 t}{2m\hbar}}|q\rangle dp = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty e^{\frac{-i t }{2m\hbar} p^2 + i\frac{q' - q}{\hbar} p} dp$.

Это осцилляторный интеграл. Подынтегральная функция имеет норму 1, потому что аргумент экспоненты чисто мнимый. Такие интегралы не сходятся абсолютно, поэтому правая часть этого уравнения явно не определена. Он не является интегрируемым по Лебегу, хотя сходится как интеграл Римана благодаря некоторым довольно тонким сокращениям. Чтобы сделать интеграл корректно определенным — что равносильно тому, чтобы увидеть, как происходят эти сокращения — нам нужно предоставить некоторую дополнительную информацию.

Вращение фитиля обеспечивает способ сделать это. Вы заметили, что левая часть является аналитической в$t$, и что правая часть определена корректно, если$Im(t) < 0$. Тогда вы можете определить интеграл для реального$t$говоря, что это аналитическое продолжение сложного$t$с отрицательной мнимой частью.

2-й комментарий:

Как указал В. Моретти, в КТП в каком-то смысле отстало думать об аналитическом продолжении от сигнатуры Минковского к евклидовой сигнатуре. Скорее, в евклидовой сигнатуре находят что-то, обладающее хорошими свойствами, а затем аналитически продолжают от евклидовой сигнатуры до Минковского. Однако часто можно начать этот процесс, взяв действие Минковского и найдя его евклидову версию, а затем попытавшись построить оттуда КТП. Хотя нет никакой гарантии, что это сработает. Спинорные поля могут иметь условия реальности, которые зависят от сигнатуры пространства-времени. Или полученное вами евклидово действие может вести себя плохо. Как известно, это относится к гравитации Эйнштейна; евклидово действие не ограничено снизу, поэтому толковой евклидовой теории не получается.

Интеграл по траекториям, математически говоря, не существует как интеграл: он не связан ни с какой положительной или комплексной мерой. И наоборот, евклидов интеграл по путям существует. Поворот Вика — это способ «построить» интеграл Фейнмана как предельный случай хорошо определенного евклидова интеграла. Если вместо этого вас интересует аксиоматический подход, связывающий лоренцевы n-точечные функции (подтверждающий аксиомы Вайтмана) с соответствующими евклидовыми n-точечными функциями (и наоборот ), существует хорошо известная теория, основанная на так называемой теории Остервальдера . Теорема реконструкции Шредера, строго обсуждающая «вращение Вика» в обобщенном виде.