Аналитическая механика с SR

Лагранжиан можно легко записать для релятивистской частицы в искривленном пространстве-времени (т. е. под действием гравитации). В частности, «действие» — это собственное время между двумя событиями вдоль мировой линии частицы, и траектория частицы будет максимально сократить собственное время между этими событиями:

$$S = \tau = \int \sqrt{ - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu }$$ Здесь, $s$- параметр вдоль мировой линии частицы, и $x^\mu$представляют собой набор пространственно-временных координат.

В частности, если мы хотим посмотреть на пробную частицу, движущуюся в слабом гравитационном поле, то метрика такова, что

$$S = \int \sqrt{ \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right) dt^2 - \left( 1 - \frac{2 \Phi}{c^2} \right) d\vec{r}^2 } = \int \sqrt{ \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right) - \left( 1 - \frac{2 \Phi}{c^2} \right) \vec{v}^2 } dt$$ где $\Phi (\vec{r})$- ньютоновский гравитационный потенциал и $\vec{v} = d\vec{r}/dt$– координатная скорость частицы. Экстремизируя этот интеграл по всем путям $\vec{r}(t)$дадут уравнения движения частицы. ¹ Вы также можете определить гамильтониан из этого «лагранжиана» (т. е. подынтегральной функции выше), выполнив преобразование Лежандра обычным способом.

Бесплатный бонусный лагранжиан: если вы хотите добавить заряд к своей релятивистской частице, вы тоже можете это сделать; лагранжиан становится

$$S = \int \sqrt{ - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu } + q \int A_\mu dx^\mu$$ где $A_\mu$– релятивистский четырехвекторный потенциал.

---

¹ Это предполагает, что$t$является действительным параметром для траектории частицы, что верно в случае слабых гравитационных полей, но может быть не так в более сильных гравитационных полях (например, черные дыры).