Лагранжиан в гамильтониан

У меня возникли проблемы с заданием, где я должен указать гамильтониан из кинетической энергии$T$и потенциальная энергия$U$. Вот они:

$$T(\dot{x},\dot{y})=2m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-m\dot{x}\dot{y}$$ и $$U(x,y)=-mgy+\frac{1}{2}k(y-l_{0})^{2}+U_{0},$$ где $m$, $g$, $k$, $l_{0}$и $U_{0}$являются константами.

Теперь мне нужно вывести обобщенные импульсы$p_{x}$и$p_{y}$, что я делаю с уравнением:

$$p_{x}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}$$ и $$p_{y}=\frac{\partial T}{\partial \dot{y}},$$ и я использую только $T$поскольку потенциал $U$не зависит от обобщенных координат.

Это довольно просто, и я заканчиваю$\dot{x}$и$\dot{y}$определяется импульсами как:

$$\dot{x}=\frac{p_{x}+p_{y}}{4m}$$ и $$\dot{y}=\frac{p_{x}+p_{y}}{m}$$ Теперь гамильтониан получить несложно, так как мне нужно только вставить его в уравнение для кинетической энергии. Но, согласно решению, я должен показать, что гамильтониан определяется выражением: $$H(x,y,p_{x},p_{y}) = \frac{1}{6m}(p_{x}^{2}+2p_{x}p_{y}+4p_{y}^{2}) + U$$ Но если я сделаю то, что сказал выше, я вместо этого получу: $$H(x,y,p_{x},p_{y}) = \frac{3}{8m}(p_{x}^{2}+2p_{x}p_{y}+p_{y}^{2}) + U$$ И я действительно не могу понять, где я делаю это неправильно. Мой путь не правильный? Выражение $\dot{x}$и $\dot{y}$относительно импульсов, а затем просто вставить его в кинетическую энергию?

Не думайте, что решение неправильное, но вы никогда не знаете. Так что да, мне нужна помощь, чтобы двигаться :)