Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Question

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Элио Перейра

Мы можем записать лагранжиан (с $n$ обобщенные координаты) с использованием следующего выражения:

л (д_{я}, \dot{д_{я}}, т) "=" л_{0} (д_{я}, т) + л_{1} (д_{я}, \dot{д_{я}}, т) + л_{2} (д_{я}, \dot{д_{я}}, т)

$\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}=\mathcal{L}_0(q_i,t)+\mathcal{L}_1(q_i,\dot{q_i},t)+\mathcal{L}_2(q_i,\dot{q_i},t)$

где

л_{0} "=" \vec{к_{1}} . \vec{д} + к_{2},

$\mathcal{L}_0=\vec{k_1}.\vec{q}+k_2,$ это функция без

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ условия,(

k_{1} \in R^{n}, k_{2} \in R

$k_1\in\mathbb{R}^n,k_2\in \mathbb{R}$ ),

л_{1} "=" \vec{а} . \vec{\dot{д}},

$\mathcal{L}_1=\vec{a}.\vec{\dot{q}},$ является линейной функцией на

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ ,

(a = a (q_{i}, t))

$\left(a=a(q_i,t)\right)$ , и

л_{2} "=" б_{я} {\dot{д_{я}}}^{2} + с_{я} \dot{д_{я}} \dot{д_{Дж}},

$\mathcal{L}_2=b_i\dot{q_i}^2+c_i\dot{q_i}\dot{q_j},$ является квадратичной функцией на

\dot{q_{i}}

$\dot{q_i}$ , (

b = b (q_{i}, t), c = c (q_{i}, t), i = 1, 2, . . . n, j = 1, 2, . . . n

$b=b(q_i,t),c=c(q_i,t), i=1,2,...n,j=1,2,...n$ ).

Таким образом я могу преобразовать предыдущее выражение для $\mathcal{L}$ на:

л (д_{я}, \dot{д_{я}}, т) "=" л_{0} (д_{я}, т) + а . \dot{д} + \frac{1}{2} {\dot{д}}^{т} Т \dot{д}

$\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}=\mathcal{L}_0(q_i,t)+{a}.{\dot{q}}+\frac{1}{2}\dot{q}^tT\dot{q}$

где $T$ – тензор кинетической энергии.

У нас есть прегамильтониан как,

час (д_{я}, \dot{д_{я}}, п_{я}, т) "=" \vec{\dot{д}} . \vec{п} - л (д_{я}, \dot{д_{я}}, т)

$\mathcal{h(q_i,\dot{q_i},p_i,t)}=\vec{\dot{q}}.\vec{p}-\mathcal{L(q_i,\dot{q_i},t)}$

который можно записать как

ЧАС (д_{я}, п_{я}, т) "=" \frac{1}{2} (п - а)^{т} Т^{- 1} (п - а) - л_{0} (д_{я}, т)

$\mathcal{H(q_i,p_i,t)}=\frac{1}{2}(p-a)^tT^{-1}(p-a)-\mathcal{L}_0(q_i,t)$

Мой вопрос касается процедуры перехода от тензора Лагранжа к этому последнему выражению в виде алгебраических операций. Не могли бы вы написать эту алгебраическую операцию?

Уолтер

Ваше уравнение, включающее

q^{t} T q

$q^tTq$ не следует из предыдущего. Возможно, вы имели в виду

{\dot{q}}^{t} T \dot{q}

$\dot{q}^tT\dot{q}$ с

T

$T$ постоянный тензор (а не тензор кинетической энергии , что бы это ни было) .

Элио Перейра

ты прав! извини..

Ответы (1)

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Ваше уравнение, включающее $q^tTq$ не следует из предыдущего. Возможно, вы имели в виду $\dot{q}^tT\dot{q}$ с $T$ постоянный тензор (а не тензор кинетической энергии , что бы это ни было) .

Уолтер · Answer 1

Если

л "=" а \dot{д} + \frac{1}{2} {\dot{д}}^{т} Т \dot{д} - U (д)

$\mathcal{L} = \boldsymbol{a}\dot{\boldsymbol{q}} + \tfrac{1}{2}\dot{\boldsymbol{q}}^t\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}} - U(\boldsymbol{q})$ с некоторым постоянным вектором

a

$\boldsymbol{a}$ и постоянный симметричный тензор

T

$\mathsf{\boldsymbol{T}}$ , затем

п "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} "=" а + Т \dot{д} .

$\boldsymbol{p}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\boldsymbol{q}}}=\boldsymbol{a}+\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}}.$ Следовательно,

\dot{д} "=" Т^{- 1} (п - а)

$\dot{\boldsymbol{q}}=\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})$ и

\begin{aligned} ЧАС & "=" п \dot{д} - л \\ "=" (п - а) \dot{д} - \frac{1}{2} {\dot{д}}^{т} Т \dot{д} + U (д) \\ "=" (п - а) Т^{- 1} (п - а) - \frac{1}{2} (п - а)^{т} Т^{- 1} Т Т^{- 1} (п - а) + U (д) \\ "=" \frac{1}{2} (п - а)^{т} Т^{- 1} (п - а) + U (д) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H} &= \boldsymbol{p}\dot{\boldsymbol{q}} - \mathcal{L} \\ &= (\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})\dot{\boldsymbol{q}} - \tfrac{1}{2}\dot{\boldsymbol{q}}^t\mathsf{\boldsymbol{T}}\dot{\boldsymbol{q}} + U(\boldsymbol{q}) \\ &= (\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) - \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})^t\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}\mathsf{\boldsymbol{T}}\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) + U(\boldsymbol{q}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a})^t\mathsf{\boldsymbol{T}}^{-1}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{a}) + U(\boldsymbol{q}). \end{align}$

Редактировать. Кажется, у вас возникли трудности с векторной записью, поэтому давайте попробуем индексную запись (используя соглашение о сумме Эйнштейна)

л "=" а_{я} {\dot{д}}_{я} + \frac{1}{2} {\dot{д}}_{я} Т_{я Дж} {\dot{д}}_{Дж} - U (д_{я})

$\mathcal{L} = a_i\dot{q}_i + \tfrac{1}{2}\dot{q}_iT_{ij}\dot{q}_j - U(q_i)$ такой, что

п_{к} "=" \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{к}} "=" а_{к} + \frac{1}{2} Т_{к Дж} {\dot{д}}_{Дж} + \frac{1}{2} {\dot{д}}_{я} Т_{я к} "=" а_{к} + \frac{1}{2} (Т_{к я} + Т_{я к}) {\dot{д}}_{я} .

$p_k = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k} = a_k + \tfrac{1}{2}T_{kj}\dot{q}_j+\tfrac{1}{2}\dot{q}_iT_{ik} = a_k + \tfrac{1}{2}(T_{ki}+T_{ik})\dot{q}_i.$ а в остальном как раньше.

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Элио Перейра

Уолтер

Элио Перейра

Ответы (1)

Уолтер

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Лагранжиан в гамильтониан

Калибровочная инвариантность гамильтониана

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Инвариантность канонического уравнения Гамильтона при добавлении полной производной по времени функции от qiqiq_i и ttt к лагранжиану

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями

Простое объяснение того, почему импульс является ковектором?