Гамильтониан для частицы с центральной силой

Меня просят написать подробную функцию Гамильтона для частицы, движущейся в центральном потенциале, используя сферические координаты. Кажется, я понял это правильно, но я не уверен, что это достаточно «подробно». Кто-нибудь может проверить это? Мой прогресс:

лагранжиан:

$$L = T - V = \frac m {2}(\dot{r^2} + r^2 \dot{\theta^2} + r sin^2(\theta) \dot\phi^2) - V(r)$$ Генерализованные импульсы: $$p_r = m \dot{r}$$ $$p_\theta = m r^2 \dot{\theta}$$ $$p_\phi = m r^2 sin^2(\theta) \dot{\phi}$$ А гамильтониан: $$H = \frac 1 {2m}(p_r^2 + \frac {p_\theta^2} {r^2}+ \frac {p_\phi^2} {sin^2(\theta) r^2})+V(r)$$

Основное беспокойство вызывает потенциал, поскольку он центральный, он зависит только от r, а поскольку он не задан, я предполагаю, что это просто V (r), это правильно?