Аналитичность и причинность в теории относительности

Несколько недель назад на конференции докладчик, которого я слушал, сделал замечание о том, что функция (скажем, скалярная) не может быть аналитической, поскольку в противном случае она нарушила бы причинно-следственную связь. Он не стал уточнять это, поскольку это был побочный комментарий, и, хотя он меня заинтриговал (я никогда раньше не слышал об этом), я не задумывался об этом до сегодняшнего утра.

Теперь, когда я думаю об этом, это на самом деле кажется совершенно очевидным. Просто загляни 1 + 1 Пространство Минковского: предположим ф является аналитическим в некоторой точке ( т 0 , Икс 0 ) , то я могу найти вокруг этой точки такой шар, что в другой точке ( т , Икс ) в шаре, но вне светового конуса ( т 0 , Икс 0 ) у нас есть это ф ( т , Икс ) полностью определяется значением функции и ее производных при ( т 0 , Икс 0 ) . Кажется, это противоречит духу причинности.

Если вышесказанное верно, кто-нибудь знает, когда это впервые обсуждалось? Я думаю, что это было бы довольно давно. Это интересно, потому что до этой конференции я никогда не слышал об этом раньше. Возможно, это считается неинтересным/очевидным?

Вы уверены, что спикер говорил об аналитичности самих полей? Я слышал об аналитичности только в контексте корреляционных функций. Там мы имеем «аналитическое в верхней полуплоскости = причинное».
Сомневаюсь, что ответ может быть коротким. Из опыта обсуждения этой проблемы (также подтвержденного ответами и комментариями здесь) я узнаю, что даже постановка задачи не очень проста. У одного моего коллеги даже была идея использовать это как тему для докторской диссертации...

Ответы (3)

Не совсем, если принять точку зрения, согласно которой причинно-следственная связь связана с тем, может ли «сигнал» быть отправлен быстрее скорости света.

Напомним, что является ли функция действительно аналитической , локально зависит от того, существует ли малая окрестность, в которой ряд Тейлора функции сходится к реальной функции. Таким образом, можно возразить, что, постулируя, что скалярное поле действительно аналитическое, вы уже постулируете факт, который не может быть причинно выведен. Тот факт, что вы используете акаузальное знание для получения большего количества акаузального знания, не следует рассматривать как противоречащий каузальности.

Иными словами: реальная аналитичность также распространяется причинно: если вам дано уравнение скалярного поля (линейной волны) и данные, реально аналитические в пространственно-временной области, то самое большее, что вы можете сказать, это то, что решение реально. аналитический внутри области зависимости. Вне области зависимости нет гарантии, что решение будет действительно аналитическим.

Теперь предположим, что Вселенная действует таким образом, что существуют только реальные аналитические функции как решения уравнений скалярного поля. Я утверждаю, что у вас все еще нет нарушения причинности: главная проблема в том, что не существует финитных реальных аналитических функций . Это исключает возможность отправки каких-либосигналы! Теорема об области зависимости будет по-прежнему верна для реально-аналитических решений: если два поля согласуются в пространственно-временной области, они согласуются в области зависимости области. Проблема не в том, что сигналы могут передаваться быстрее скорости света: проблема в том, что для вещественно-аналитических функций теорема об области зависимости совершенно тривиальна: если два реальных аналитических скалярных поля полностью согласуются на непустом, открытом , область пространства-времени, два скалярных поля должны совпадать везде.

да, я думаю, что это соответствует тому, к чему я пришел и к выводу ... Я думаю, что утонченная интерпретация того, что говорил оратор, состоит в том, что причинность нарушается, если вы требуете, чтобы каждое решение всегда было аналитическим. Другими словами (как вы говорите в своем ответе), может быть, просто оказывается, что решение является аналитическим, однако, если вы требуете, чтобы оно оставалось аналитическим при каком-то локальном возмущении (т.е. вы немного меняете решение в какой-то момент), то вы нарушите причинность...
Позвольте мне только повторить: «если вы требуете, чтобы оно оставалось аналитичным при некотором локальном возмущении», невозможно: единственное локальное (в смысле финитного) возмущение, при котором мы сохраняем реальную аналитичность, — это «0» возмущение, т. е. отсутствие возмущения вообще. .

Аналитические функции — это функции, которые локально задаются сходящимся степенным рядом.

Аналитичность функции не означает, что зная значения всех производных, можно определить значение функции в другой точке.

В частности, при любых значениях у 0 и у 1 можно построить такую ​​аналитическую функцию, что у 0 "=" ф ( Икс 0 , т 0 ) и у 1 "=" ф ( Икс 1 , т 1 ) .

Следовательно, аргумент о том, что аналитичность нарушила бы причинность, недействителен.

Я думаю, это зависит от того, что вы подразумеваете под аналитикой. Для вещественно-аналитической функции знание значений всех производных в одной точке не означает, что вы можете найти функцию в другой точке. Классический пример опыт ⁡ ( − 1 Икс 2 ) вокруг Икс "=" 0 . Но для сложной аналитической функции это верно. И это также верно для множественных переменных в областях, называемых полидисками конвергенции.
Я имел в виду реально-аналитический. Быть сложной аналитической функцией (она же голоморфная функция) — гораздо более сильное свойство.
да, они локально задаются сходящимся степенным рядом, что означает, что ряд Тейлора должен сходиться к функции в некотором открытом множестве ненулевого радиуса. Для каждой точки множества я могу найти ϵ мяч вокруг этой точки так, что значение функции в шаре задается бесконечным полиномом, коэффициенты которого полностью определяются значением функции и ее производных в центре шара. Сейчас перекресток ул. ϵ шар с внешней стороны светового конуса точки будет непустым. Я сделал ошибку в рассуждениях?
@Sidious Lord: просто чтобы уточнить опыт ⁡ ( − 1 / Икс 2 ) является гладким (т.е. бесконечно дифференцируемым) при Икс "=" 0 но не аналитический в Икс "=" 0 . Основываясь на вашем языке, я думаю, это то, что вы имели в виду.
@ Кайл: Да. Я не совсем ясно выразился, но я имел в виду, что существует двусмысленность в расширении реальной аналитической функции за пределы круга сходимости. Например, я могу добавить к реальной аналитической функции на интервале ( − а , а ) функция ф ( Икс ) , такой, что ф ( Икс ) "=" 0 для Икс е ( − а , а ) пока ф ( Икс ) "=" опыт ⁡ ( − 1 ( Икс − а ) 2 ) для Икс ∉ ( − а , а ) . Функция ф является С ∞ и имеет нулевые производные в нуле. Извините, что не был более ясным раньше.
Это не имеет значения, потому что диск схождения уже содержит пространственно-подобно разделенные точки.
@CristiStoica: Как вы определяете диск конвергенции в подписи Минковского? Какую метрику вы используете?
зависит от того, какую топологию вы выберете... Я считаю, что большинство людей используют обычную топологию на р н .
@Sidious Lord: Функция е − 1 Икс 2 определяется в системе координат, скажем ( Икс , у , г , т ) . При расчете сходимости вы работаете в той системе координат, которая имеет топологию р 4 . Можно, если мы хотим, определить топологию с помощью положительной метрики, но она предшествует метрике и не зависит от конкретной положительной метрики, которую вы использовали для ее определения. Но ни в коем случае нельзя использовать метрику Лоренца для определения топологии, потому что получается неразделимое топологическое пространство (светоподобные разделенные точки будут неразличимы, а пространство-время Минковского будет беспорядочным).

Есть несколько комментариев, которые я хотел бы сделать по этому поводу, и я соберу их в ответ, хотя я не знаю требуемой ссылки.

Помню (давно это было), читал это в университетском учебнике по дифференциальным уравнениям в частных производных профессора В. Ифтими, написанном на румынском языке и изданном, вероятно, до 1990 года. У меня нет книги, поэтому я не могу, если есть были ли какие-либо ссылки, приведенные в поддержку этого пункта.

Кто-то, кто встречался с Фейнманом, сказал мне, что однажды Фейнман спросил физика-математика в связи с его новой книгой по математическому анализу, что он подразумевает под функцией, которая выводится только дважды. Автор книги привел Фейнману в качестве примера функцию, которая кусочно определяется двумя аналитическими функциями, так что функция непрерывна в точке 0 , но там существуют только первые две производные. Фейнман ответил: «Это не функция!». Я предполагаю, что Фейнман считал аналитические функции более «реальными» с физической точки зрения, чем искусственная конструкция, приведенная в качестве примера.

«функция (скажем, скалярная) не может быть аналитической, потому что иначе она нарушила бы причинность»

Поскольку мы можем определить аналитические функции на любом дифференцируемом многообразии, ничто не может помешать нам определить столько аналитических функций, сколько мы хотим, в пространстве-времени Минковского. Вот почему я думаю, что речь идет об аналитических физических полях.

Предполагается, что физические поля являются решениями УЧП. PDE может иметь неаналитические решения (при условии, что начальные условия не заданы аналитическими функциями), которые являются слабыми или обобщенными решениями (например, распределения). Было бы интересно, если бы в физике были примеры естественных решений УЧП, настолько диких, что они не были бы аналитическими, по крайней мере, при ограничении некоторым открытым множеством. Я предполагаю, что для любого такого поля существует открытое множество, на котором его ограничение является аналитическим. И проблема, которую вы подняли, коснется и их, потому что в любом открытом множестве можно найти две точки, разделенные пространственноподобным интервалом.

Даже если физические поля во Вселенной являются аналитическими, я думаю, что мы не можем фактически использовать аналитическую функцию на практике для отправки сообщений, нарушающих причинность, потому что у нас нет возможности контролировать ее значение и значения всех ее частных производных в момент времени. ( т 0 , Икс 0 ) в приближении, чтобы предсказать, что происходит в ( т , Икс ) . (Если функция представляет собой квантовое поле, мы в принципе не можем знать значение и производные.)

Хорошо, нам не нужно контролировать все в деталях. Достаточно установить соглашение, что если мы заставляем функцию принимать значения в интервале или нет, это двоичная цифра, поэтому мы посылаем двоичные сигналы. Дело в том, что мы не можем даже этого сделать, потому что всегда есть две аналитические функции, которые учитывают ограничения, которые мы накладываем для отправки сообщения, и одна положительная, а другая отрицательная в точке назначения.

То, что может сделать неаналитическая функция, может сделать и аналитическая функция, с какой точностью мы хотим. Поэтому мы не можем различить их с помощью эксперимента, даже если эксперимент включает в себя сигналы, нарушающие релятивистскую причинно-следственную связь.

Аналитичность и причинность в теории относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v