SUSY QM и теорема Атьи-Зингера об индексе

1. ОП хочет оценить индекс

   $${\rm Tr}(-)^F e^{-\beta H}=\int_{PBC}\![d\phi]\int_{PBC}[d\psi]~ e^{-S_E[\phi,\psi]},\tag{2.5}$$ в исх. 1 с периодическими граничными условиями (ПГУ) как для бозона$\phi\equiv x$и фермион$\psi$. Следовательно, соответствующие компоненты Фурье помечены целыми числами$^1$ $n\in\mathbb{Z}$. Можно возразить, что (2.5) не зависит от$\beta$, так что можно рассмотреть$\beta\to 0^+$предел.

2. Прежде чем обсуждать модель ОП с 1 реальным фермионом, мы сначала обсудим модель с 2 реальными фермионами.$\psi_1^j$и$\psi_2^j$, или эквивалентно, 1 сложный фермион$\psi^j=(\psi_1^j+i\psi_2^j)/\sqrt{2}$. После исх. 2, Лагранжиан Минковского читается$^2$

   $$L_M~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot{x}^i\dot{x}^j +\frac{i}{2}\sum_{\alpha\in\{1,2\}}\psi^i_{\alpha} g_{ij}(x) \left(\dot{\psi}^j_{\alpha}+\dot{x}^m\Gamma^j_{mk}(x)\psi^k_{\alpha}\right)$$ $$+\frac{1}{4}R_{ijk\ell}(x)\psi^i_1\psi^j_1\psi^k_2\psi^{\ell}_2\tag{74}$$ с реальными фермионами в Ref. 2 или эквивалент $$L_M~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(\phi)\dot{\phi}^i\dot{\phi}^j +i\psi^{\ast i} g_{ij}(\phi) \frac{D\psi^j}{dt} -\frac{1}{4}R_{ijk\ell}(\phi)\psi^{\ast i}\psi^{\ast j}\psi^k\psi^{\ell}\tag{4.1}$$ со сложными фермионами в работе. 1. Далее фитиль поворачиваем $\tau=it$. Евклидово действие $$S_E~=~\int_0^{\beta} d\tau ~ L_E.$$ Далее разделите произвольный виртуальный путь$(x,\psi)$на нулевые и непостоянные моды: $$x^i(\tau)~=~x^i_0 +\xi^i(\tau), \qquad \psi^j_{\alpha}(\tau)~=~\psi^j_{\alpha 0}+\eta^j_{\alpha}(\tau).$$ Непостоянные режимы$(\xi,\eta)$иметь компоненты Фурье, помеченные ненулевыми целыми числами$n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$. Давайте перемасштабируем старые переменные без штриха на новые переменные со штрихом $$\tau~=~ \beta\tau^{\prime},\qquad L_E~=~ \frac{L^{\prime}_E}{\beta},\qquad S_E~=~ S^{\prime}_E, \qquad g_{ij}~=~ g^{\prime}_{ij},$$ $$x^i_0~=~ x^{i\prime}_0,\qquad \xi^i~=~ \sqrt{\beta}\xi^{i\prime},\qquad \psi^i_{\alpha 0} ~=~\frac{\psi^{i\prime}_{\alpha 0}}{\beta^{1/4}},\qquad \eta^i_{\alpha}~=~ \eta^{i\prime}_{\alpha}.$$ Можно утверждать, что полный интеграл по траекториям (супер)якобиан этого преобразования в точности равен$1$, например, посредством регуляризации дзета-функции $$\prod_{n\in\mathbb{Z}} \sqrt{\beta} ~=~1.$$ С этого момента мы опускаем штрихи из обозначений. Только квадратичные члены в$(\xi,\eta)$выжить в евклидовом лагранжиане $$L^{(2)}_E~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(x_0)\dot{\xi}^i\dot{\xi}^j +\eta^{\ast i} g_{ij}(x_0)\dot{\eta}^j -\frac{1}{4}R_{ijk\ell}(x_0)\psi^{\ast i}_0\psi^{\ast j}_0\psi^k_0\psi^{\ell}_0 +{\cal O}(\beta).$$ Термин$\psi^{\ast i}_0 g_{ij}(x_0)\dot{\eta}^j$тождественно обращается в нуль из-за ПВС.

   Вышеупомянутая процедура масштабирования$\beta\to 0^+$пример локализации на константные пути

   $$(x^i(\tau),\psi^j_{\alpha}(\tau))~\longrightarrow~ (x^i_0,\psi^j_{\alpha 0})$$ в континуальном интеграле. Полный интеграл по путям определяется формулой Дуистермата-Хекмана и методом наискорейшего спуска для евклидовой сигнатуры; или, что то же самое, формула стационарной фазы ВКБ для сигнатуры Минковского, ср. исх. 4-5.

   Фермионный доф имитирует комплекс де Рама . Можно показать, что индекс Виттена (2.5) становится эйлеровой характеристикой , ср. теорема Черна -Гаусса-Бонне и ур. (4.3) в работе. 1.$\Box$

3. Теперь мы возвращаемся к вопросу ОП. Евклидов лагранжиан OP [что соответствует уравнению. (73) в работе. 2] получается наложением дополнительного условия

   $$\psi_1^i~=~\psi_2^i~=~\psi^i/\sqrt{2}.$$ Член четвертой кривизны исчезает по симметрии. Изменение масштаба от старых переменных без штрихов к новым переменным со штрихами теперь читается $$\tau~=~ \beta\tau^{\prime},\qquad L_E~=~ \frac{L^{\prime}_E}{\beta},\qquad S_E~=~ S^{\prime}_E, \qquad g_{ij}~=~ g^{\prime}_{ij},$$ $$x^i_0~=~ x^{i\prime}_0,\qquad \xi^i~=~ \sqrt{\beta}\xi^{i\prime},\qquad \psi^i_0 ~=~\frac{\psi^{i\prime}_0}{\sqrt{\beta}},\qquad \eta^i~=~ \eta^{i\prime}.$$ Можно возразить, что полный интеграл по траекториям (супер)якобиан этого преобразования по-прежнему в точности равен$1$. Только квадратичные члены в$(\xi,\eta)$выжить в евклидовом лагранжиане $$L^{(2)}_E~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(x_0)\dot{\xi}^i\dot{\xi}^j -\frac{1}{4}R_{ijab}(x_0)\psi^a_0\psi^b_0\xi^i\dot{\xi}^j+\frac{1}{2}\eta^a \dot{\eta}^a+{\cal O}(\beta).\tag{78}$$ ср. Ссылка 2. Здесь$a,b$являются плоскими индексами (также известными как индексы Вильбейна). Вычисление (78) упрощается за счет использования римановых нормальных координат , ср. $$\Gamma^{k}_{ij}(x)~\sim~ \frac{1}{2} R^k{}_{i\ell j}(x_0) \xi^{\ell} \tag{5.10}$$ в исх. 3.

   Теперь фермионы образуют алгебру Клиффорда, так что индекс (2.5) становится родом Дирака / А-крыши , ср. уравнения (79)-(81) в работе. 2.$\Box$

Использованная литература:

1. Л. Альварес-Гауме, Суперсимметрия и теорема об индексе Атьи-Зингера, Comm. Мат. физ. 90 (1983) 161 .

2. Л. Альварес-Гауме и Э. Виттен, Гравитационные аномалии, Nucl.Phys. В234 (1984) 269 .

3. Д. Фридан и П. Винди, Суперсимметричный вывод индекса Атьи-Зингера и киральная аномалия, Nucl.Phys. В235 (1984) 395 .

4. Р. Дж. Сабо, Эквивариантная локализация интегралов по траекториям, hep-th/9608068 .

5. С. Кордес, Г. Мур и С. Рамгулам, Лекции по двумерной теории Янга-Миллса, эквивариантным когомологиям и топологическим теориям поля, hep-th/9411210 ; Глава 12.

6. Х. Оогори, Лекция 8: Суперсимметрия и теоремы об индексе .

--

$^1$Антипериодические граничные условия (АВС) соответствуют полуцелым модам.

$^2$Мы исправили некоторые опечатки индекса в уравнении. (74) ссылки. 2. Еще одна опечатка в Ref. 2 это что$\tau$в уравнении (74) должно быть$t$. Позже исх. 2 забывает удалить$i$перед кинетическим членом с поворотом Вика для фермионов в уравнении. (78).