Формулировка интеграла по путям в квантовой механике

Источники интеграла по путям

Вы можете читать любой стандартный источник, если дополните его приведенным ниже текстом. Вот несколько хороших:

• Фейнман и Хиббс
• Kleinert (хотя это немного многословно)
• Приложение к теории струн Полчински, том I.
• Мандельштам и Юрграу

У других презентаций есть серьезные недостатки, это почти единственные хорошие. Я объясню главное упущение ниже.

Оформление стандартных презентаций.

Чтобы обсуждение интеграла по траекториям было полным, необходимо объяснить, как возникает некоммутативность. Это не тривиально, потому что переменные интегрирования в интеграле по путям для бозонных полей или траекторий частиц относятся к обычным переменным с действительными значениями, и сами эти величины не могут быть некоммутативными.

Некоммутативные величины

Разрешение этого непарадокса состоит в том, что подынтегральное выражение интеграла по путям находится на матричных элементах операторов, а сам интеграл воспроизводит матричное умножение. Таким образом, только когда вы интегрируете все значения в промежуточные моменты времени, вы получаете некоммутативный ответ, зависящий от порядка. Важно отметить, что когда некоммутирующие операторы появляются в действии или во вставках, порядок этих операторов зависит от того, как именно вы их дискретизируете — помещаете ли вы производные части как прямые разности, обратные разности или разности по центру. Все эти двусмысленности важны, и они обсуждаются лишь в нескольких местах (Негеле/Орланд Юрграу/Мандельштам Фейнман/Хиббс Полчински и Википедия) и больше нигде.

Я приведу классические примеры этого, которых достаточно для решения общего случая, если вы знакомы с простыми интегралами по траекториям, такими как свободная частица. Рассмотрим евклидово действие свободной частицы

и рассмотрим оценку некоммутирующего продукта$x\dot{x}$. Это можно дискретизировать как

или как

Первый представляет$x(t)p(t)$в этом порядке операторов второй представляет$p(t)x(t)$в другом порядке оператора, поскольку порядок оператора является порядком времени. Разность второго минус первого равна

Который для флуктуирующих интегральных путей пути случайного блуждания имеет предел флуктуаций, который в среднем равен 1 на любом интервале конечной длины, когда$\epsilon$уходит в ноль. Это евклидово каноническое коммутационное соотношение, разница в двух порядках операторов дает 1. Для броуновского движения это соотношение называется «леммой Ито», а не dX, но квадрат dX пропорционален dt. В то время как dX колеблется между положительными и отрицательными значениями без корреляции и с величиной в любой момент времени приблизительно$\sqrt{dt}$, dX^2 колеблется только в пределах положительных значений, со средним размером dt и без корреляций. Это означает, что типичный броуновский путь непрерывен, но не дифференцируем (для доказательства непрерывности необходимо знать, что большие флуктуации dX экспоненциально подавляются --- непрерывность нарушается для полетов Леви, хотя dX действительно масштабируется до 0 с dt).

Хотя порядок определяет дискретизация, не все свойства дискретизации имеют значение — важно только, в каком направлении идет производная по времени. Вы можете интуитивно понять зависимость следующим образом: значение будущего положения случайного блуждания (очень слабо) коррелирует с текущей (бесконечной) мгновенной скоростью, потому что, если мгновенная скорость увеличивается, будущее значение будет больше, если вниз, меньше. Однако, поскольку скорость бесконечна, эта крошечная корреляция между будущим значением и текущей скоростью дает конечный коррелятор, который оказывается постоянным в континуальном пределе. В отличие от будущего значения, прошлое значение совершенно не коррелирует с текущей (поступательной) скоростью, если вы генерируете случайное блуждание естественным образом, продвигаясь вперед во времени шаг за шагом, с помощью цепи Маркова.

Временной порядок операторов равен их порядку операторов в интеграле по путям, исходя из того, как вы разрезаете время, чтобы сделать интеграл по путям. Прямые различия — это бесконечно малые производные, смещенные в будущее, прошлые различия немного смещены в прошлое. Это важно в лагранжиане, когда лагранжиан включает некоммутирующие величины. Например, рассмотрим частицу в магнитном поле (в правильном евклидовом продолжении):

Векторный потенциал является функцией x и не коммутирует со скоростью$\dot{x}$. По этой причине Фейнман, Хиббс, Негеле и Орланд тщательно дискретизируют это,

Где нижний индекс c указывает на бесконечно малую центрированную разницу (среднее значение прямой и обратной разницы). В этом случае два порядка отличаются коммутатором [A,p], который равен$\nabla\cdot A$, так что существует разница порядка за пределами определенных калибров. Правильный порядок задается требованием калибровочной инвариантности, так что добавление градиента$\nabla \alpha$к A не делает ничего, кроме локального поворота фазы на$\alpha(x)$.

Где центрированное различие выбирается, потому что только центрированное различие подчиняется цепному правилу. То, что это верно, известно из уравнения движения Гейзенберга:

Где производная есть сумма обоих порядков. Это верно для квадратичных гамильтонианов, для которых интеграл по траекториям является наиболее простым. Центральная разность является суммой обоих порядков.

Тот факт, что цепное правило работает только для центрированного различия, означает, что люди, которые на 100% не понимают двусмысленности порядка (почти все), имеют центральный фетишизм, который заставляет их постоянно использовать центрированные различия.

Центральная разность не подходит для некоторых вещей, например, для дискретизации уравнения Дирака, где она приводит к «удвоению Фермионов». «Фермионы Вильсона» — это модификация дискретизированного действия Дирака, которая в основном сводится к высказыванию «Не используй центрированные производные, болван!»

В любом случае порядок важен. Любое представление интеграла по траекториям, которое дает лагранжиан для частицы в магнитном поле без уточнения, является ли производная по времени разностью вперед или разностью прошлого, совершенно бесполезно. Это большинство дискуссий.

Хороший формализм для интегралов по путям всегда думает о вещах на тонкой решетке и в конце принимает предел малого шага решетки. Фейнман всегда втайне так думал (а часто и вовсе не тайно, как в случае с частицей в магнитном поле выше), как и все остальные, кто с комфортом работает с этим материалом. Математикам не нравится так думать, потому что им не нравится мысль о том, что в пределе континуума все еще есть новые сюрпризы. Математики снобы и неправы.

Другая вещь, которая почти никогда не объясняется должным образом (за исключением Негеле/Орланда, оригинальной статьи Дэвида Джона Кэндлина Neuvo Cimento 1956 года и Березина), — это интеграл по траекториям фермионного поля. Это отдельная дискуссия, поэтому я пока буду ссылаться на эти источники.

«Квантовая механика и интегралы по путям» Фейнмана и Хиббса

Для начала вот несколько лекций, которые мне нравятся по интегралу по траекториям: http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1011/notes/pathint.pdf (со страницы http://bohr.physics .berkeley.edu/classes/221/1011/221.html )

В книге «Принципы квантовой механики» Р. Шанкара есть действительно хорошее введение в формализм интеграла по траекториям (и в квантовую механику в целом) с двумя посвященными ему главами. Также книга начинается с красивого представления линейной алгебры в нотации Бракета.