Вычисление суммы сферических гармоник в пропагаторе частицы на сфере

Суммирование по магнитному квантовому числу может быть достигнуто с помощью формулы сложения сферических гармоник

$\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}(\hat{\mathbb{n_i}}) Y_{lm}(\hat{\mathbb{n_f}}) = \frac{2l+1}{4 \pi} P_l(\hat{\mathbb{n_i}}.\hat{\mathbb{n_f}})$

Где$\hat{\mathbb{n_i}}$,$\hat{\mathbb{n_f}}$- начальный и конечный единичные векторы на сфере и$P_l$являются полиномами Лежандра. Оставшаяся сумма имеет вид:

$K(\theta, t_f-t_i) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{2l+1}{4 \pi} e^{i l(l+1)(t_f-t_i)}P_l(cos(\theta))$

Где$\theta = \arccos(\hat{\mathbb{n_i}}.\hat{\mathbb{n_f}})$

(Предполагается, что энергия равна энергии свободной частицы на сфере):

$E_n =l(l+1)$.

«Ближайшая» форма остаточной суммы — это дробная производная пропагатора на окружности, которая может быть выражена с помощью тета-функции Якоби. Полное доказательство см. в http: обзоре Кампорези ( уравнения 8.38 и 6.35) . :

$K(\theta, t_f-t_i) = e^{i/4 (t_f-t_i)} (\frac{1}{2\pi} \frac{\partial}{\partial (\cos \theta + 1)})^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2\pi} \Theta_3(\frac{\theta}{2}, -\frac{t_f-t_i}{\pi})$