Бесконечные скважины и дельта-функции

Можно просматривать как (i) бесконечную стену

$$\tag{1} V(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}\infty & \text{for} & x>0, \\ 0 & \text{for} & x\leq 0, \end{array} \right.$$

и (ii) потенциал дельта-функции

$$\tag{2} V(x)~=~A\delta(x),$$

как подходящий предел конечной барьерной стены

$\tag{3} V(x) ~=~ V_0 1_{[0,a]}(x)=\left\{\begin{array}{cc}V_0 & \text{for } 0<x<a \\ 0 & \text{otherwise} & \end{array} \right.$

позволив (i)$a=\infty$и (ii)$a=A/V_0$, соответственно, и принимая предел$V_0\to \infty$.

Для энергий$E<V_0$меньше высоты барьера (3), ОДУ ТИСЭ второго порядка дает экспоненциально затухающие и экспоненциально растущие решения внутри барьера (3).

(i) С одной стороны, для бесконечно толстой стенки$a=\infty$, экспоненциально растущее решение физически неприемлемо и, следовательно, отбрасывается, так что$\psi(\infty)=0$. Таким образом, мы узнаем, что волновая функция экспоненциально затухает при входе в потенциальную стенку при$x=0$. Обратная характеристическая глубина проникновения пропорциональна$\sqrt{V_0-E}$. Таким образом, в пределе$V_0\to \infty$, характерная глубина внедрения равна нулю, т.е. получаем искомое граничное условие$\psi(x=0)=0$, если предположить, что волновая функция непрерывна$^1$.

(ii) С другой стороны, для стенки конечной толщины$a<\infty$, экспоненциально растущее решение также может быть актуальным, и$\psi(x=0)=0$не должен быть удовлетворен.

--

$^1$Непрерывность волновой функции$\psi$может быть оправдано для широкого класса потенциалов$V$через аргумент начальной загрузки на ТИСЭ в интегральной форме. См. также, например, мой ответ Phys.SE здесь .

Бесконечная потенциальная яма — это идеализация, в которой мы представляем, как Кайл Канос уже сказал в своем ответе, что мы полностью ограничиваем частицу интервалом$(-a,a)$на реальной линии. Поскольку квадрат модуля$|\psi(x)|^2$волновой функции в точке$x$на вещественной оси представляет вероятность (плотность) нахождения частицы в заданном положении$x$, частица, ограниченная областью$(-a,a)$должна иметь нулевую вероятность быть найденной в этой области, поэтому мы накладываем граничное условие$|\psi(x)|^2 = 0$для всех$x\geq a$и для всех$x\leq-a$что подразумевает, что$\psi(x) = 0$для всех этих значений$x$.

Пока что это, по сути, просто повторение того, что Кайл уже сказал, но давайте копнем немного дальше, чтобы понять, что происходит физически.

Вы можете подумать про себя: «Хорошо, учитывая описанную выше идеализацию удержания частицы, граничные условия имеют интуитивный смысл, но в реальном мире не существует такой вещи, как бесконечный потенциал. Однако мы можем создавать очень большие потенциалы в реальном мире Я был бы более убежден в граничных условиях бесконечной квадратной ямы, если бы мы могли показать, что при наличии конечной потенциальной ямы силы$V_0$, поведение волновой функции в областях высокого потенциала становится все ближе и ближе к ее поведению для бесконечной потенциальной ямы по мере$V_0$берется все больше и больше.

Фактически, мы можем показать, что это имеет место для собственных векторов энергии конечной потенциальной ямы.

Рассмотрим связанное состояние частицы в конечной потенциальной яме прочности$V_0$, а именно

$$\begin{align} V(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & ,|x|<a \\ V_0 & ,|x|\geq a \end{array}\right. \end{align}$$ Связанное состояние возникает, когда энергия частицы меньше максимальной потенциальной энергии, а именно, когда $E<V_0$, то для регионов $|x|\geq a$уравнение собственного значения энергии (также известное как не зависящее от времени уравнение Шредингера) дает $$\begin{align} \psi''(x) = \kappa^2\psi(x), \qquad \kappa^2 = -\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2} \end{align}$$ Общее решение представляет собой либо растущую, либо убывающую экспоненту. $\psi(x) = A e^{\pm \kappa x}$. Чтобы волновая функция была нормируемой, это говорит нам о том, что общее решение вне ямы есть $$\begin{align} \psi(x) = \left\{\begin{array}{cl} A_-e^{\kappa x} & ,x\leq -a \\ A_+ e^{-\kappa x} & ,x\geq a \end{array}\right. \end{align}$$ Теперь вот крутая вещь. Для фиксированного $E$, если мы возьмем $V_0\to\infty$, затем $\kappa\to\infty$, а это означает, что волновая функция затухает все быстрее вне ямы по мере того, как мы увеличиваем потенциал. В самом деле, для заданного $E$и $x$, у нас есть $\psi(x)\to 0$как $V_0\to \infty$для всех $|x|\geq a$.

С этой точки зрения мы можем рассматривать граничные условия бесконечной квадратной ямы как полученные из предела конечной квадратной ямы, в которой яма «бесконечно глубока».

Заметим также, что с этой точки зрения пара дельта-функций не эквивалентна бесконечной квадратной яме, потому что это соответствовало бы бесконечному пределу пары конечных пиков потенциала в позициях$\pm a$, и это просто не та физическая ситуация, которую мы пытаемся смоделировать, когда обсуждаем потенциальную яму.

Если вы рассмотрите потенциальный барьер, то увидите, что волновая функция частицы с определенной энергией будет экспоненциально затухать со скоростью, зависящей от разности потенциала и энергии. Именно, показатель степени пропорционален$\sqrt{V - E}$.

В пределе для$V\to\infty$, он будет уменьшаться до 0 по ширине 0.

Дельта-функция не существует как функция, но это предел функций (в подходящей топологии). Для этой задачи проще всего рассматривать блочные функции: функции ширины w и высоты 1/w. Дельта-распределение является пределом, поскольку$w\to 0$. Вы не можете сначала взять предел высоты, идущей к бесконечности, а затем ширину, идущую к 0, что вы неявно делаете.

Теперь для фиксированного$w$вы получаете значение волновой функции по другую сторону барьера в зависимости от значения по эту сторону. Когда высота увеличивается, затухание будет быстрее, но оно также будет падать за более короткий интервал, и на самом деле затухание будет меньше, потому что показатель степени затухания содержит квадратный корень. В пределе вообще нет уменьшения высоты, в частности, у вас есть непрерывность, но нет причин заканчиваться на 0.

Вы ограничиваете частицу областью$|x|< a$с бесконечным потенциалом, простирающимся бесконечно далеко для$|x|\geq a$: Источник изображения

Поскольку мы ограничиваем частицу определенной областью (прикладывая потенциал за пределами этой области), вы никогда не найдете частицу за пределами этой области, поэтому волновая функция$\psi$, должен быть равен нулю, начиная с$|x|=a$.

Почему же тогда он должен стремиться к нулю у стен бесконечного колодца?

Потому что правильный способ найти$\psi$состоит в том, чтобы решить Schr. уравнение для конечной потенциальной ямы сначала и найти, как$\psi$зависит от параметров потенциала. Затем попытайтесь ограничить бесконечную потенциальную яму и посмотрите, что произойдет с$\psi$функция.

Нельзя решить Schr. уравнение для чего-то вроде «бесконечного потенциала» напрямую, потому что «бесконечный потенциал» не является допустимой функцией.

В связи с требованием нормируемости$\psi$, в случае конечной ямы$\psi$функция спадает до нуля при больших$x$, а процедура ограничения приводит к непрерывному$\psi$даже в пределе и до граничного условия, где$\psi$равен нулю вне колодца

Мне даже кажется, что стенка колодца эквивалентна сумме дельта-функций...

Правда, постоянный потенциал$V_0$вне конечной ямы можно записать как

$$V(x) = V_0 \int_{(-\infty,-a)+(a,\infty)} \delta(x-x_0)dx_0.$$

Однако в целом решение задачи Schr. уравнение,$\psi$, не задается линейным оператором, действующим на потенциал$V(x)$фигурируя в Schr. уравнение. Нет оснований ожидать, что$\psi$функция для$V(x)$будет суммой функций$\psi_{x_0}$которые являются решениями Schr. уравнение с дельта-потенциалом$V_0 \delta(x-x_0)$.