Почему первое радиальное возбуждение частицы в двумерном кольце Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Рассмотрим квантовую механику массивной частицы, заключенной бесконечными потенциальными стенками в двумерное кольцо.а < г < б а < р < б a<r<b, для которого собственные функции гамильтониана подчиняются стационарному уравнению Шрёдингера −12∇2ψ ( р , θ ) = Eψ ( р , θ )подψ ( а ) = ψ ( б ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( р , θ ) "=" Е ψ ( р , θ ) под ψ ( а ) "=" ψ ( б ) "=" 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Это уравнение Шрёдингера решить так же легко, как уравнение конечной квадратной ямы в 1D: сама волновая функция должна быть линейной комбинацией функций Бесселя первого и второго рода, ψ ( р , θ ) = [ АДжм( к р ) + ВДм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" [ А Дж м ( к р ) + Б Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, гдеЕ"="12к2 Е "=" 1 2 к 2 E=\frac12 k^2, а нуль на внутреннем кольце можно довольно легко решить в явном виде, что дает волновую функцию вида ψ ( р , θ ) знак равно N[Дм( к а )Джм( к р ) -Джм( к а )Дм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" Н [ Д м ( к а ) Дж м ( к р ) − Дж м ( к а ) Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, окончательно сведя задачу к решению одного трансцендентного уравнения, Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0 , Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, так называемые нули Бесселя «перекрестного произведения» . Хорошо, с этой небольшой настройкой, я хочу сделать следующее примечание: наблюдение: в пределеб / а ≫ 1 б / а ≫ 1 b/a\gg 1, где кольцо велико по сравнению с его внутренним диаметром, первоем = 0 м "=" 0 m=0возбужденное состояние (т. е. состояние с ровно одним радиальным узлом) находится между нижнимим = 2 м "=" 2 m=2состояние и самое низкоем = 3 м "=" 3 m=3состояние: Источник изображения: Импорт [" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Это проще всего показать графически; график выше показывает разумный асимптотический диапазон вб / у б / а b/a(параметра = 1 а "=" 1 a=1), но поведение сохраняется до значенийб / у б / а b/aнастолько большой, насколько я хотел вставить. Имея это в виду, тогда: Что такого особенного вм = 2 м "=" 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}км = 3 м "=" 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}шаг? То есть, еслим = 0 м "=" 0 m=0,нр= 1 н р "=" 1 n_r=1состояние будет располагаться асимптотически между двумя определеннымим м mосновные состояния, почему не междум = 0 м "=" 0 m=0им = 1 м "=" 1 m=1? Или, если азимутальные возбуждения принципиально легче радиальных возбуждений, то почему не междум = 1 м "=" 1 m=1им = 2 м "=" 2 m=2? Или, если это произойдет в высокой точкем м mлестница, почему бы и нетм = 3 м "=" 3 m=3км = 4 м "=" 4 m=4илим = 4 м "=" 4 m=4им = 5 м "=" 5 m=5шаги, пока мы здесь? квантовая механика волновая функция потенциал уравнение Шредингера собственное значение Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Возможно, можно было бы проверить асимптотическое поведение нулей Бесселя в перекрестном произведении: асимптотическое выражение страницы NIST может дать некоторое представление. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Андерс Сандберг Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Асимптотика в DLMF предназначена для нулей высокого порядка одного и того же уравнения (т.е. ихν ν \nuмойм м mи ихм м mмойнр н р n_r; результаты асимптотичны по своимм м m), а не поведение нуля самого низкого порядка как само уравнение (черезб б b) изменения. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Лучший способ подойти к этому вопросу — перевернуть ограничение на формуа / б → 0 а / б → 0 a/b\to 0, т. е. считать внешний радиус фиксированным, а затем приравнивать внутренний радиус к нулю. Обычно это требуетк а → 0 к а → 0 ka\to 0, и в этом режимеа а a-зависимые коэффициенты уравнения квантования Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0( ∗ ) ( * ) Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$$} будут сильно отличаться друг от друга: в то время какДжм( к а ) Дж м ( к а ) J_m(ka)останется ограниченным (а длям > 0 м > 0 m>0, она будет стремиться к нулю),Дм( к а ) Д м ( к а ) Y_m(ka)всегда будет неограниченно расти, а это означает, что в первом приближении к уравнению квантования( ∗ ) ( ) ()в этом пределе мы можем просто отбросить член вДм( к б ) Д м ( к б ) Y_m(kb), так что нам остается только Джм( кб ) = 0 . Дж м ( к б ) "=" 0. J_m(kb)=0. То есть порядок радиального и азимутального нулей в этом асимптотическом режиме обусловлен тем, что первые нулиДж1( г) Дж 1 ( г ) J_1(z)иДж2( г) Дж 2 ( г ) J_2(z)произойти до второго нуляДж0( г) Дж 0 ( г ) J_0(z), но первый нульДж3( г) Дж 3 ( г ) J_3(z)находится между вторым и третьим нулямиДж0( г) Дж 0 ( г ) J_0(z): Итак, это решает загадку, но оставляет открытым один вопрос: если условие квантования в этом пределе простоДжм( к б ) = 0 Дж м ( к б ) "=" 0 J_m(kb)=0, то есть идентичны полному кругу без внутреннего ядра, то как же волновой функции удается получить узел в середине? Ответ на этот вопрос заключается в том, чтобы быть немного более точным в отношении приближений, принятых вк а → 0 к а → 0 ka\to 0ограничение, используя количественные оценки дляСм( к а ) С м ( к а ) C_m(ka)коэффициенты: используя асимптотику Джм( г) ∼гмм !2м Дж м ( г ) ∼ г м м ! 2 м J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} для обычного решения и Дм( г) ∼ -( м - 1 ) !2мπ1гм при м > 0иД0( г) ∼2πп( г) Д м ( г ) ∼ − ( м − 1 ) ! 2 м π 1 г м для м > 0 и Д 0 ( г ) ∼ 2 π п ⁡ ( г ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) для расходящегося условие квантования имеет вид Джм( к б )Дж0( к б )≈ -πм ! ( м - 1 ) !22 м( к а)2 мДм( к б )для m > 0 и _ ≈π21п( к а )Д0( к б ) . Дж м ( к б ) ≈ − π м ! ( м − 1 ) ! 2 2 м ( к а ) 2 м Д м ( к б ) для м > 0 , и Дж 0 ( к б ) ≈ π 2 1 п ⁡ ( к а ) Д 0 ( к б ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}До сих пор это говорит нам о том, что мы уже знали:Дм( к б ) Д м ( к б ) Y_m(kb)будет хорошо вести себя на другом конце, ик а к а ka- зависимые факторы будут управлятьДжм( к б ) Дж м ( к б ) J_m(kb)до нуля. Однако более важно то, что теперь мы можем передать эти оценки обратно в саму волновую функцию, которая теперь читается как ψ ( р , θ ) знак равноН′[Джм( к р ) +πм ! ( м - 1 ) !22 м( к а)2 мДм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" Н ′ [ Дж м ( к р ) + π м ! ( м − 1 ) ! 2 2 м ( к а ) 2 м Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, длям > 0 м > 0 m>0и ψ ( р , θ ) знак равноН′[Дж0( к р ) -π21п( к а )Д0( к р ) ] ψ ( р , θ ) "=" Н ′ [ Дж 0 ( к р ) − π 2 1 п ⁡ ( к а ) Д 0 ( к р ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad для базового случая. Здесь важно то, что в решении по существу доминируетДжм( к р ) Дж м ( к р ) J_m(kr)срок, так как коэффициентДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)термин исчезает вк а → 0 к а → 0 ka\to 0лимит; поэтому неудивительно, что условие квантования ограничивается случаем полного круга. Однако это доминирование не распространяется вплоть до внутренней границы: решение имеет крошечное количествоДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)в нем, но коэффициент все еще отличен от нуля, а так какк р к р krподходык а к а kaсверху, функция НейманаДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)будет становиться все больше и больше, поэтому для любого конечногоа а aв конечном итоге он станет достаточно большим, чтобы соответствовать крошечности коэффициента, что дает порядок1 1 1который отменит ненулевоеДжм( к а ) Дж м ( к а ) J_m(ka)вклад. Так, например, прим = 0 м "=" 0 m=0волновая функция выглядит как ваша основнаяДж0( к р ) Дж 0 ( к р ) J_0(kr)основное состояние барабана, но с небольшой долейД0( к р ) Д 0 ( к р ) Y_0(kr)это имеет значение только тогда, когда он расходится и вырезает ноль в начале координат. Наконец, просто чтобы задокументировать это здесь: приведенная выше асимптота работает нормально длям ≥ 1 м ≥ 1 m\geq 1, но это не очень хорошо длям = 0 м "=" 0 m=0канал, где сходимость к этой асимптотике является логарифмической, а не степенной. Это действительно можно улучшить, взяв уравнение в том виде, в котором оно было сформулировано изначально, Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0 ,( ∗ ) ( ) Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} и предполагая, что решение не сильно изменится, т.е. установивк б =Джм , н+ δ к б "=" Дж м , н + дельта kb = j_{m,n}+\delta, некоторое возмущение нан н nнулевой изДжм Дж м J_m, и расширениеДжм( к б ) Дж м ( к б ) J_m(kb)линейно относительно этой точки, что дает Джм( К б ) ≈ -Джм + 1(Джм , н) δ, Дж м ( к б ) ≈ − Дж м + 1 ( Дж м , н ) дельта , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, со всем остальным нетронутым на нуле. Это приводит к линейному уравнению вдельта дельта \delta, которое можно решить, чтобы дать к б =Джм , н−1Дм(Джм , на / б )Джм(Джм , на / б )Дм(Джм , н)Джм + 1(Джм , н). к б "=" Дж м , н − 1 Д м ( Дж м , н а / б ) Дж м ( Дж м , н а / б ) Д м ( Дж м , н ) Дж м + 1 ( Дж м , н ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Длям = 0 м "=" 0 m=0, этот первый знаменатель дает асимптотику вида к б =Дж0 , н+π/ 2п( б /Джм , на )Джм(Джм , на / б )Дм(Джм , н)Джм + 1(Джм , н). к б "=" Дж 0 , н + π / 2 п ⁡ ( б / Дж м , н а ) Дж м ( Дж м , н а / б ) Д м ( Дж м , н ) Дж м + 1 ( Дж м , н ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Это действительно улучшает сходимость, особенно в приближении сплошной серой линией к основному состоянию: Источник: Импорт[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z

Question

Почему первое радиальное возбуждение частицы в двумерном кольце Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Рассмотрим квантовую механику массивной частицы, заключенной бесконечными потенциальными стенками в двумерное кольцо.а < г < б а < р < б a<r<b, для которого собственные функции гамильтониана подчиняются стационарному уравнению Шрёдингера −12∇2ψ ( р , θ ) = Eψ ( р , θ )подψ ( а ) = ψ ( б ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( р , θ ) "=" Е ψ ( р , θ ) под ψ ( а ) "=" ψ ( б ) "=" 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Это уравнение Шрёдингера решить так же легко, как уравнение конечной квадратной ямы в 1D: сама волновая функция должна быть линейной комбинацией функций Бесселя первого и второго рода, ψ ( р , θ ) = [ АДжм( к р ) + ВДм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" [ А Дж м ( к р ) + Б Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, гдеЕ"="12к2 Е "=" 1 2 к 2 E=\frac12 k^2, а нуль на внутреннем кольце можно довольно легко решить в явном виде, что дает волновую функцию вида ψ ( р , θ ) знак равно N[Дм( к а )Джм( к р ) -Джм( к а )Дм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" Н [ Д м ( к а ) Дж м ( к р ) − Дж м ( к а ) Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, окончательно сведя задачу к решению одного трансцендентного уравнения, Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0 , Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, так называемые нули Бесселя «перекрестного произведения» . Хорошо, с этой небольшой настройкой, я хочу сделать следующее примечание: наблюдение: в пределеб / а ≫ 1 б / а ≫ 1 b/a\gg 1, где кольцо велико по сравнению с его внутренним диаметром, первоем = 0 м "=" 0 m=0возбужденное состояние (т. е. состояние с ровно одним радиальным узлом) находится между нижнимим = 2 м "=" 2 m=2состояние и самое низкоем = 3 м "=" 3 m=3состояние: Источник изображения: Импорт [" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Это проще всего показать графически; график выше показывает разумный асимптотический диапазон вб / у б / а b/a(параметра = 1 а "=" 1 a=1), но поведение сохраняется до значенийб / у б / а b/aнастолько большой, насколько я хотел вставить. Имея это в виду, тогда: Что такого особенного вм = 2 м "=" 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}км = 3 м "=" 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}шаг? То есть, еслим = 0 м "=" 0 m=0,нр= 1 н р "=" 1 n_r=1состояние будет располагаться асимптотически между двумя определеннымим м mосновные состояния, почему не междум = 0 м "=" 0 m=0им = 1 м "=" 1 m=1? Или, если азимутальные возбуждения принципиально легче радиальных возбуждений, то почему не междум = 1 м "=" 1 m=1им = 2 м "=" 2 m=2? Или, если это произойдет в высокой точкем м mлестница, почему бы и нетм = 3 м "=" 3 m=3км = 4 м "=" 4 m=4илим = 4 м "=" 4 m=4им = 5 м "=" 5 m=5шаги, пока мы здесь? квантовая механика волновая функция потенциал уравнение Шредингера собственное значение Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Возможно, можно было бы проверить асимптотическое поведение нулей Бесселя в перекрестном произведении: асимптотическое выражение страницы NIST может дать некоторое представление. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Андерс Сандберг Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Асимптотика в DLMF предназначена для нулей высокого порядка одного и того же уравнения (т.е. ихν ν \nuмойм м mи ихм м mмойнр н р n_r; результаты асимптотичны по своимм м m), а не поведение нуля самого низкого порядка как само уравнение (черезб б b) изменения. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Лучший способ подойти к этому вопросу — перевернуть ограничение на формуа / б → 0 а / б → 0 a/b\to 0, т. е. считать внешний радиус фиксированным, а затем приравнивать внутренний радиус к нулю. Обычно это требуетк а → 0 к а → 0 ka\to 0, и в этом режимеа а a-зависимые коэффициенты уравнения квантования Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0( ∗ ) ( * ) Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$$} будут сильно отличаться друг от друга: в то время какДжм( к а ) Дж м ( к а ) J_m(ka)останется ограниченным (а длям > 0 м > 0 m>0, она будет стремиться к нулю),Дм( к а ) Д м ( к а ) Y_m(ka)всегда будет неограниченно расти, а это означает, что в первом приближении к уравнению квантования( ∗ ) ( ) ()в этом пределе мы можем просто отбросить член вДм( к б ) Д м ( к б ) Y_m(kb), так что нам остается только Джм( кб ) = 0 . Дж м ( к б ) "=" 0. J_m(kb)=0. То есть порядок радиального и азимутального нулей в этом асимптотическом режиме обусловлен тем, что первые нулиДж1( г) Дж 1 ( г ) J_1(z)иДж2( г) Дж 2 ( г ) J_2(z)произойти до второго нуляДж0( г) Дж 0 ( г ) J_0(z), но первый нульДж3( г) Дж 3 ( г ) J_3(z)находится между вторым и третьим нулямиДж0( г) Дж 0 ( г ) J_0(z): Итак, это решает загадку, но оставляет открытым один вопрос: если условие квантования в этом пределе простоДжм( к б ) = 0 Дж м ( к б ) "=" 0 J_m(kb)=0, то есть идентичны полному кругу без внутреннего ядра, то как же волновой функции удается получить узел в середине? Ответ на этот вопрос заключается в том, чтобы быть немного более точным в отношении приближений, принятых вк а → 0 к а → 0 ka\to 0ограничение, используя количественные оценки дляСм( к а ) С м ( к а ) C_m(ka)коэффициенты: используя асимптотику Джм( г) ∼гмм !2м Дж м ( г ) ∼ г м м ! 2 м J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} для обычного решения и Дм( г) ∼ -( м - 1 ) !2мπ1гм при м > 0иД0( г) ∼2πп( г) Д м ( г ) ∼ − ( м − 1 ) ! 2 м π 1 г м для м > 0 и Д 0 ( г ) ∼ 2 π п ⁡ ( г ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) для расходящегося условие квантования имеет вид Джм( к б )Дж0( к б )≈ -πм ! ( м - 1 ) !22 м( к а)2 мДм( к б )для m > 0 и _ ≈π21п( к а )Д0( к б ) . Дж м ( к б ) ≈ − π м ! ( м − 1 ) ! 2 2 м ( к а ) 2 м Д м ( к б ) для м > 0 , и Дж 0 ( к б ) ≈ π 2 1 п ⁡ ( к а ) Д 0 ( к б ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}До сих пор это говорит нам о том, что мы уже знали:Дм( к б ) Д м ( к б ) Y_m(kb)будет хорошо вести себя на другом конце, ик а к а ka- зависимые факторы будут управлятьДжм( к б ) Дж м ( к б ) J_m(kb)до нуля. Однако более важно то, что теперь мы можем передать эти оценки обратно в саму волновую функцию, которая теперь читается как ψ ( р , θ ) знак равноН′[Джм( к р ) +πм ! ( м - 1 ) !22 м( к а)2 мДм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" Н ′ [ Дж м ( к р ) + π м ! ( м − 1 ) ! 2 2 м ( к а ) 2 м Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, длям > 0 м > 0 m>0и ψ ( р , θ ) знак равноН′[Дж0( к р ) -π21п( к а )Д0( к р ) ] ψ ( р , θ ) "=" Н ′ [ Дж 0 ( к р ) − π 2 1 п ⁡ ( к а ) Д 0 ( к р ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad для базового случая. Здесь важно то, что в решении по существу доминируетДжм( к р ) Дж м ( к р ) J_m(kr)срок, так как коэффициентДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)термин исчезает вк а → 0 к а → 0 ka\to 0лимит; поэтому неудивительно, что условие квантования ограничивается случаем полного круга. Однако это доминирование не распространяется вплоть до внутренней границы: решение имеет крошечное количествоДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)в нем, но коэффициент все еще отличен от нуля, а так какк р к р krподходык а к а kaсверху, функция НейманаДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)будет становиться все больше и больше, поэтому для любого конечногоа а aв конечном итоге он станет достаточно большим, чтобы соответствовать крошечности коэффициента, что дает порядок1 1 1который отменит ненулевоеДжм( к а ) Дж м ( к а ) J_m(ka)вклад. Так, например, прим = 0 м "=" 0 m=0волновая функция выглядит как ваша основнаяДж0( к р ) Дж 0 ( к р ) J_0(kr)основное состояние барабана, но с небольшой долейД0( к р ) Д 0 ( к р ) Y_0(kr)это имеет значение только тогда, когда он расходится и вырезает ноль в начале координат. Наконец, просто чтобы задокументировать это здесь: приведенная выше асимптота работает нормально длям ≥ 1 м ≥ 1 m\geq 1, но это не очень хорошо длям = 0 м "=" 0 m=0канал, где сходимость к этой асимптотике является логарифмической, а не степенной. Это действительно можно улучшить, взяв уравнение в том виде, в котором оно было сформулировано изначально, Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0 ,( ∗ ) ( ) Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} и предполагая, что решение не сильно изменится, т.е. установивк б =Джм , н+ δ к б "=" Дж м , н + дельта kb = j_{m,n}+\delta, некоторое возмущение нан н nнулевой изДжм Дж м J_m, и расширениеДжм( к б ) Дж м ( к б ) J_m(kb)линейно относительно этой точки, что дает Джм( К б ) ≈ -Джм + 1(Джм , н) δ, Дж м ( к б ) ≈ − Дж м + 1 ( Дж м , н ) дельта , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, со всем остальным нетронутым на нуле. Это приводит к линейному уравнению вдельта дельта \delta, которое можно решить, чтобы дать к б =Джм , н−1Дм(Джм , на / б )Джм(Джм , на / б )Дм(Джм , н)Джм + 1(Джм , н). к б "=" Дж м , н − 1 Д м ( Дж м , н а / б ) Дж м ( Дж м , н а / б ) Д м ( Дж м , н ) Дж м + 1 ( Дж м , н ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Длям = 0 м "=" 0 m=0, этот первый знаменатель дает асимптотику вида к б =Дж0 , н+π/ 2п( б /Джм , на )Джм(Джм , на / б )Дм(Джм , н)Джм + 1(Джм , н). к б "=" Дж 0 , н + π / 2 п ⁡ ( б / Дж м , н а ) Дж м ( Дж м , н а / б ) Д м ( Дж м , н ) Дж м + 1 ( Дж м , н ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Это действительно улучшает сходимость, особенно в приближении сплошной серой линией к основному состоянию: Источник: Импорт[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z

Эмилио Писанти

Рассмотрим квантовую механику массивной частицы, заключенной бесконечными потенциальными стенками в двумерное кольцо. $a<r<b$ , для которого собственные функции гамильтониана подчиняются стационарному уравнению Шрёдингера

- \frac{1}{2} \nabla^{2} ψ (р, θ) "=" Е ψ (р, θ) под ψ (а) "=" ψ (б) "=" 0.

$-\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0.$ Это уравнение Шрёдингера решить так же легко, как уравнение конечной квадратной ямы в 1D: сама волновая функция должна быть линейной комбинацией функций Бесселя первого и второго рода,

ψ (р, θ) "=" [А {Дж}_{м} (к р) + Б Д_{м} (к р)] е^{я м θ},

$\psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ где

E = \frac{1}{2} k^{2}

$E=\frac12 k^2$ , а нуль на внутреннем кольце можно довольно легко решить в явном виде, что дает волновую функцию вида

ψ (р, θ) "=" Н [Д_{м} (к а) {Дж}_{м} (к р) - {Дж}_{м} (к а) Д_{м} (к р)] е^{я м θ},

$\psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ окончательно сведя задачу к решению одного трансцендентного уравнения,

Д_{м} (к а) {Дж}_{м} (к б) - {Дж}_{м} (к а) Д_{м} (к б) "=" 0,

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0,$ так называемые нули Бесселя «перекрестного произведения» .

Хорошо, с этой небольшой настройкой, я хочу сделать следующее примечание:

наблюдение: в пределе $b/a\gg 1$ , где кольцо велико по сравнению с его внутренним диаметром, первое $m=0$ возбужденное состояние (т. е. состояние с ровно одним радиальным узлом) находится между нижними $m=2$ состояние и самое низкое $m=3$ состояние:

^{Источник изображения: Импорт [" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "]}

Это проще всего показать графически; график выше показывает разумный асимптотический диапазон в $b/a$ (параметр $a=1$ ), но поведение сохраняется до значений $b/a$ настолько большой, насколько я хотел вставить.

Имея это в виду, тогда:

Что такого особенного в $\mathbf{\boldsymbol m=2}$ к $\mathbf{\boldsymbol m=3}$ шаг? То есть, если $m=0$ , $n_r=1$ состояние будет располагаться асимптотически между двумя определенными $m$ основные состояния, почему не между $m=0$ и $m=1$ ? Или, если азимутальные возбуждения принципиально легче радиальных возбуждений, то почему не между $m=1$ и $m=2$ ? Или, если это произойдет в высокой точке $m$ лестница, почему бы и нет $m=3$ к $m=4$ или $m=4$ и $m=5$ шаги, пока мы здесь?

Андерс Сандберг

Возможно, можно было бы проверить асимптотическое поведение нулей Бесселя в перекрестном произведении: асимптотическое выражение страницы NIST может дать некоторое представление.

Эмилио Писанти

@AndersSandberg Асимптотика в DLMF предназначена для нулей высокого порядка одного и того же уравнения (т.е. их

ν

$\nu$ мой

m

$m$ и их

m

$m$ мой

n_{r}

$n_r$ ; результаты асимптотичны по своим

m

$m$ ), а не поведение нуля самого низкого порядка как само уравнение (через

b

$b$ ) изменения.

Ответы (1)

Почему первое радиальное возбуждение частицы в двумерном кольце Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Рассмотрим квантовую механику массивной частицы, заключенной бесконечными потенциальными стенками в двумерное кольцо.а < г < б а < р < б a<r<b, для которого собственные функции гамильтониана подчиняются стационарному уравнению Шрёдингера −12∇2ψ ( р , θ ) = Eψ ( р , θ )подψ ( а ) = ψ ( б ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( р , θ ) "=" Е ψ ( р , θ ) под ψ ( а ) "=" ψ ( б ) "=" 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Это уравнение Шрёдингера решить так же легко, как уравнение конечной квадратной ямы в 1D: сама волновая функция должна быть линейной комбинацией функций Бесселя первого и второго рода, ψ ( р , θ ) = [ АДжм( к р ) + ВДм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" [ А Дж м ( к р ) + Б Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, гдеЕ"="12к2 Е "=" 1 2 к 2 E=\frac12 k^2, а нуль на внутреннем кольце можно довольно легко решить в явном виде, что дает волновую функцию вида ψ ( р , θ ) знак равно N[Дм( к а )Джм( к р ) -Джм( к а )Дм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" Н [ Д м ( к а ) Дж м ( к р ) − Дж м ( к а ) Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, окончательно сведя задачу к решению одного трансцендентного уравнения, Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0 , Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, так называемые нули Бесселя «перекрестного произведения» . Хорошо, с этой небольшой настройкой, я хочу сделать следующее примечание: наблюдение: в пределеб / а ≫ 1 б / а ≫ 1 b/a\gg 1, где кольцо велико по сравнению с его внутренним диаметром, первоем = 0 м "=" 0 m=0возбужденное состояние (т. е. состояние с ровно одним радиальным узлом) находится между нижнимим = 2 м "=" 2 m=2состояние и самое низкоем = 3 м "=" 3 m=3состояние: Источник изображения: Импорт [" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Это проще всего показать графически; график выше показывает разумный асимптотический диапазон вб / у б / а b/a(параметра = 1 а "=" 1 a=1), но поведение сохраняется до значенийб / у б / а b/aнастолько большой, насколько я хотел вставить. Имея это в виду, тогда: Что такого особенного вм = 2 м "=" 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}км = 3 м "=" 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}шаг? То есть, еслим = 0 м "=" 0 m=0,нр= 1 н р "=" 1 n_r=1состояние будет располагаться асимптотически между двумя определеннымим м mосновные состояния, почему не междум = 0 м "=" 0 m=0им = 1 м "=" 1 m=1? Или, если азимутальные возбуждения принципиально легче радиальных возбуждений, то почему не междум = 1 м "=" 1 m=1им = 2 м "=" 2 m=2? Или, если это произойдет в высокой точкем м mлестница, почему бы и нетм = 3 м "=" 3 m=3км = 4 м "=" 4 m=4илим = 4 м "=" 4 m=4им = 5 м "=" 5 m=5шаги, пока мы здесь? квантовая механика волновая функция потенциал уравнение Шредингера собственное значение Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Возможно, можно было бы проверить асимптотическое поведение нулей Бесселя в перекрестном произведении: асимптотическое выражение страницы NIST может дать некоторое представление. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Андерс Сандберг Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Асимптотика в DLMF предназначена для нулей высокого порядка одного и того же уравнения (т.е. ихν ν \nuмойм м mи ихм м mмойнр н р n_r; результаты асимптотичны по своимм м m), а не поведение нуля самого низкого порядка как само уравнение (черезб б b) изменения. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Эмилио Писанти Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z Лучший способ подойти к этому вопросу — перевернуть ограничение на формуа / б → 0 а / б → 0 a/b\to 0, т. е. считать внешний радиус фиксированным, а затем приравнивать внутренний радиус к нулю. Обычно это требуетк а → 0 к а → 0 ka\to 0, и в этом режимеа а a-зависимые коэффициенты уравнения квантования Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0( ∗ ) ( * ) Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$*$} будут сильно отличаться друг от друга: в то время какДжм( к а ) Дж м ( к а ) J_m(ka)останется ограниченным (а длям > 0 м > 0 m>0, она будет стремиться к нулю),Дм( к а ) Д м ( к а ) Y_m(ka)всегда будет неограниченно расти, а это означает, что в первом приближении к уравнению квантования( ∗ ) ( * ) (*)в этом пределе мы можем просто отбросить член вДм( к б ) Д м ( к б ) Y_m(kb), так что нам остается только Джм( кб ) = 0 . Дж м ( к б ) "=" 0. J_m(kb)=0. То есть порядок радиального и азимутального нулей в этом асимптотическом режиме обусловлен тем, что первые нулиДж1( г) Дж 1 ( г ) J_1(z)иДж2( г) Дж 2 ( г ) J_2(z)произойти до второго нуляДж0( г) Дж 0 ( г ) J_0(z), но первый нульДж3( г) Дж 3 ( г ) J_3(z)находится между вторым и третьим нулямиДж0( г) Дж 0 ( г ) J_0(z): Итак, это решает загадку, но оставляет открытым один вопрос: если условие квантования в этом пределе простоДжм( к б ) = 0 Дж м ( к б ) "=" 0 J_m(kb)=0, то есть идентичны полному кругу без внутреннего ядра, то как же волновой функции удается получить узел в середине? Ответ на этот вопрос заключается в том, чтобы быть немного более точным в отношении приближений, принятых вк а → 0 к а → 0 ka\to 0ограничение, используя количественные оценки дляСм( к а ) С м ( к а ) C_m(ka)коэффициенты: используя асимптотику Джм( г) ∼гмм !2м Дж м ( г ) ∼ г м м ! 2 м J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} для обычного решения и Дм( г) ∼ -( м - 1 ) !2мπ1гм при м > 0иД0( г) ∼2πп( г) Д м ( г ) ∼ − ( м − 1 ) ! 2 м π 1 г м для м > 0 и Д 0 ( г ) ∼ 2 π п ⁡ ( г ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) для расходящегося условие квантования имеет вид Джм( к б )Дж0( к б )≈ -πм ! ( м - 1 ) !22 м( к а)2 мДм( к б )для m > 0 и _ ≈π21п( к а )Д0( к б ) . Дж м ( к б ) ≈ − π м ! ( м − 1 ) ! 2 2 м ( к а ) 2 м Д м ( к б ) для м > 0 , и Дж 0 ( к б ) ≈ π 2 1 п ⁡ ( к а ) Д 0 ( к б ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}До сих пор это говорит нам о том, что мы уже знали:Дм( к б ) Д м ( к б ) Y_m(kb)будет хорошо вести себя на другом конце, ик а к а ka- зависимые факторы будут управлятьДжм( к б ) Дж м ( к б ) J_m(kb)до нуля. Однако более важно то, что теперь мы можем передать эти оценки обратно в саму волновую функцию, которая теперь читается как ψ ( р , θ ) знак равноН′[Джм( к р ) +πм ! ( м - 1 ) !22 м( к а)2 мДм( к р ) ]ея м θ, ψ ( р , θ ) "=" Н ′ [ Дж м ( к р ) + π м ! ( м − 1 ) ! 2 2 м ( к а ) 2 м Д м ( к р ) ] е я м θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, длям > 0 м > 0 m>0и ψ ( р , θ ) знак равноН′[Дж0( к р ) -π21п( к а )Д0( к р ) ] ψ ( р , θ ) "=" Н ′ [ Дж 0 ( к р ) − π 2 1 п ⁡ ( к а ) Д 0 ( к р ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad для базового случая. Здесь важно то, что в решении по существу доминируетДжм( к р ) Дж м ( к р ) J_m(kr)срок, так как коэффициентДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)термин исчезает вк а → 0 к а → 0 ka\to 0лимит; поэтому неудивительно, что условие квантования ограничивается случаем полного круга. Однако это доминирование не распространяется вплоть до внутренней границы: решение имеет крошечное количествоДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)в нем, но коэффициент все еще отличен от нуля, а так какк р к р krподходык а к а kaсверху, функция НейманаДм( к р ) Д м ( к р ) Y_m(kr)будет становиться все больше и больше, поэтому для любого конечногоа а aв конечном итоге он станет достаточно большим, чтобы соответствовать крошечности коэффициента, что дает порядок1 1 1который отменит ненулевоеДжм( к а ) Дж м ( к а ) J_m(ka)вклад. Так, например, прим = 0 м "=" 0 m=0волновая функция выглядит как ваша основнаяДж0( к р ) Дж 0 ( к р ) J_0(kr)основное состояние барабана, но с небольшой долейД0( к р ) Д 0 ( к р ) Y_0(kr)это имеет значение только тогда, когда он расходится и вырезает ноль в начале координат. Наконец, просто чтобы задокументировать это здесь: приведенная выше асимптота работает нормально длям ≥ 1 м ≥ 1 m\geq 1, но это не очень хорошо длям = 0 м "=" 0 m=0канал, где сходимость к этой асимптотике является логарифмической, а не степенной. Это действительно можно улучшить, взяв уравнение в том виде, в котором оно было сформулировано изначально, Дм( к а )Джм( к б ) -Джм( к а )Дм( к б ) = 0 ,( ∗ ) ( * ) Д м ( к а ) Дж м ( к б ) − Дж м ( к а ) Д м ( к б ) "=" 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} и предполагая, что решение не сильно изменится, т.е. установивк б =Джм , н+ δ к б "=" Дж м , н + дельта kb = j_{m,n}+\delta, некоторое возмущение нан н nнулевой изДжм Дж м J_m, и расширениеДжм( к б ) Дж м ( к б ) J_m(kb)линейно относительно этой точки, что дает Джм( К б ) ≈ -Джм + 1(Джм , н) δ, Дж м ( к б ) ≈ − Дж м + 1 ( Дж м , н ) дельта , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, со всем остальным нетронутым на нуле. Это приводит к линейному уравнению вдельта дельта \delta, которое можно решить, чтобы дать к б =Джм , н−1Дм(Джм , на / б )Джм(Джм , на / б )Дм(Джм , н)Джм + 1(Джм , н). к б "=" Дж м , н − 1 Д м ( Дж м , н а / б ) Дж м ( Дж м , н а / б ) Д м ( Дж м , н ) Дж м + 1 ( Дж м , н ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Длям = 0 м "=" 0 m=0, этот первый знаменатель дает асимптотику вида к б =Дж0 , н+π/ 2п( б /Джм , на )Джм(Джм , на / б )Дм(Джм , н)Джм + 1(Джм , н). к б "=" Дж 0 , н + π / 2 п ⁡ ( б / Дж м , н а ) Дж м ( Дж м , н а / б ) Д м ( Дж м , н ) Дж м + 1 ( Дж м , н ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Это действительно улучшает сходимость, особенно в приближении сплошной серой линией к основному состоянию: Источник: Импорт[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-11T19:58:50.292Z

Возможно, можно было бы проверить асимптотическое поведение нулей Бесселя в перекрестном произведении: асимптотическое выражение страницы NIST может дать некоторое представление.
@AndersSandberg Асимптотика в DLMF предназначена для нулей высокого порядка одного и того же уравнения (т.е. их $\nu$ мой $m$ и их $m$ мой $n_r$ ; результаты асимптотичны по своим $m$ ), а не поведение нуля самого низкого порядка как само уравнение (через $b$ ) изменения.

Эмилио Писанти · Answer 1

Лучший способ подойти к этому вопросу — перевернуть ограничение на форму $a/b\to 0$ , т. е. считать внешний радиус фиксированным, а затем приравнивать внутренний радиус к нулю. Обычно это требует $ka\to 0$ , и в этом режиме $a$ -зависимые коэффициенты уравнения квантования

\begin{matrix} (*) & Д_{м} (к а) {Дж}_{м} (к б) - {Дж}_{м} (к а) Д_{м} (к б) "=" 0 \end{matrix}

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$*$}$ будут сильно отличаться друг от друга: в то время как

J_{m} (k a)

$J_m(ka)$ останется ограниченным (а для

m > 0

$m>0$ , она будет стремиться к нулю),

Y_{m} (k a)

$Y_m(ka)$ всегда будет неограниченно расти, а это означает, что в первом приближении к уравнению квантования

(*)

$(*)$ в этом пределе мы можем просто отбросить член в

Y_{m} (k b)

$Y_m(kb)$ , так что нам остается только

{Дж}_{м} (к б) "=" 0.

$J_m(kb)=0.$ То есть порядок радиального и азимутального нулей в этом асимптотическом режиме обусловлен тем, что первые нули

J_{1} (z)

$J_1(z)$ и

J_{2} (z)

$J_2(z)$ произойти до второго нуля

J_{0} (z)

$J_0(z)$ , но первый нуль

J_{3} (z)

$J_3(z)$ находится между вторым и третьим нулями

J_{0} (z)

$J_0(z)$ :

Математическая графика

Итак, это решает загадку, но оставляет открытым один вопрос: если условие квантования в этом пределе просто $J_m(kb)=0$ , то есть идентичны полному кругу без внутреннего ядра, то как же волновой функции удается получить узел в середине?

Ответ на этот вопрос заключается в том, чтобы быть немного более точным в отношении приближений, принятых в $ka\to 0$ ограничение, используя количественные оценки для $C_m(ka)$ коэффициенты: используя асимптотику

{Дж}_{м} (г) \sim \frac{г^{м}}{м! 2^{м}}

$J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m}$ для обычного решения и

Д_{м} (г) \sim - \frac{(м - 1)! 2^{м}}{π} \frac{1}{г^{м}} для м > 0 и Д_{0} (г) \sim \frac{2}{π} п (г)

$Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z)$ для расходящегося условие квантования имеет вид

\begin{aligned} {Дж}_{м} (к б) & \approx - \frac{π}{м! (м - 1)! 2^{2 м}} (к а)^{2 м} Д_{м} (к б) для м > 0, и \\ {Дж}_{0} (к б) & \approx \frac{π}{2} \frac{1}{п (к а)} Д_{0} (к б) . \end{aligned}

$\begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}$ До сих пор это говорит нам о том, что мы уже знали:

Y_{m} (k b)

$Y_m(kb)$ будет хорошо вести себя на другом конце, и

k a

$ka$ - зависимые факторы будут управлять

J_{m} (k b)

$J_m(kb)$ до нуля.

Однако более важно то, что теперь мы можем передать эти оценки обратно в саму волновую функцию, которая теперь читается как

ψ (р, θ) "=" Н^{'} [{Дж}_{м} (к р) + \frac{π}{м! (м - 1)! 2^{2 м}} (к а)^{2 м} Д_{м} (к р)] е^{я м θ},

$\psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ для

m > 0

$m>0$ и

ψ (р, θ) "=" Н^{'} [{Дж}_{0} (к р) - \frac{π}{2} \frac{1}{п (к а)} Д_{0} (к р)]

$\psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad$ для базового случая. Здесь важно то, что в решении по существу доминирует

J_{m} (k r)

$J_m(kr)$ срок, так как коэффициент

Y_{m} (k r)

$Y_m(kr)$ термин исчезает в

k a \to 0

$ka\to 0$ лимит; поэтому неудивительно, что условие квантования ограничивается случаем полного круга.

Однако это доминирование не распространяется вплоть до внутренней границы: решение имеет крошечное количество $Y_m(kr)$ в нем, но коэффициент все еще отличен от нуля, а так как $kr$ подходы $ka$ сверху, функция Неймана $Y_m(kr)$ будет становиться все больше и больше, поэтому для любого конечного $a$ в конечном итоге он станет достаточно большим, чтобы соответствовать крошечности коэффициента, что дает порядок $1$ который отменит ненулевое $J_m(ka)$ вклад. Так, например, при $m=0$ волновая функция выглядит как ваша основная $J_0(kr)$ основное состояние барабана, но с небольшой долей $Y_0(kr)$ это имеет значение только тогда, когда он расходится и вырезает ноль в начале координат.

Наконец, просто чтобы задокументировать это здесь: приведенная выше асимптота работает нормально для $m\geq 1$ , но это не очень хорошо для $m=0$ канал, где сходимость к этой асимптотике является логарифмической, а не степенной.

Это действительно можно улучшить, взяв уравнение в том виде, в котором оно было сформулировано изначально,

\begin{matrix} (*) & Д_{м} (к а) {Дж}_{м} (к б) - {Дж}_{м} (к а) Д_{м} (к б) "=" 0, \end{matrix}

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$}$ и предполагая, что решение не сильно изменится, т.е. установив

k b = j_{m, n} + δ

$kb = j_{m,n}+\delta$ , некоторое возмущение на

n

$n$ нулевой из

J_{m}

$J_m$ , и расширение

J_{m} (k b)

$J_m(kb)$ линейно относительно этой точки, что дает

{Дж}_{м} (к б) \approx - {Дж}_{м + 1} ({Дж}_{м, н}) дельта,

$J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta,$ со всем остальным нетронутым на нуле. Это приводит к линейному уравнению в

δ

$\delta$ , которое можно решить, чтобы дать

к б "=" {Дж}_{м, н} - \frac{1}{Д_{м} ({Дж}_{м, н} а / б)} \frac{{Дж}_{м} ({Дж}_{м, н} а / б) Д_{м} ({Дж}_{м, н})}{{Дж}_{м + 1} ({Дж}_{м, н})} .

$kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}.$ Для

m = 0

$m=0$ , этот первый знаменатель дает асимптотику вида

к б "=" {Дж}_{0, н} + \frac{π / 2}{п (б / {Дж}_{м, н} а)} \frac{{Дж}_{м} ({Дж}_{м, н} а / б) Д_{м} ({Дж}_{м, н})}{{Дж}_{м + 1} ({Дж}_{м, н})} .

$kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}.$

Это действительно улучшает сходимость, особенно в приближении сплошной серой линией к основному состоянию:

^{Источник: Импорт[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "]}

Эмилио Писанти

Андерс Сандберг

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Эмилио Писанти

Быстрый вопрос о зарисовке волновой функции в скважине

Собственные состояния конического потенциала в трех измерениях?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

Когда собственные функции/волновые функции реальны?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Конечная, квадратная, потенциальная яма

Решение квантового радиального уравнения для бесконечного потенциального сферического кольца при l=0l=0l=0

Почему волновая функция не равна 0 на пике дельта-потенциала Дирака, но равна 0 на границах бесконечной квадратной ямы?