Когда собственные функции/волновые функции реальны?

Все связанные состояния обычно могут быть выбраны так, чтобы они имели вещественные волновые функции. Причина этого в том, что их волновая функция подчиняется реальному дифференциальному уравнению,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf r)+V(\mathbf r)\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)$$ и поэтому для любого решения можно построить второе решение, взяв комплексно-сопряженное $\psi(\mathbf r)^\ast$. Это второе решение будет либо

• линейно зависит от$\psi$, в таком случае$\psi$отличается от действительной функции на фазу, или
• линейно независимы, и в этом случае вы можете «повернуть» этот базис на два независимых решения с действительным знаком$\operatorname{Re}(\psi)$и$\operatorname{Im}(\psi)$.

Для континуальных состояний это также применимо, но все не так ясно, поскольку граничные условия не инвариантны относительно сопряжения: входящие волны рассеяния с асимптотическим импульсом$\mathbf p$, например, ведут себя асимптотически как$e^{i\mathbf p\cdot \mathbf r/\hbar}$, и это превращается в исходящие волны при сопряжении. Таким образом, хотя вы все еще можете сформировать два решения с действительными значениями, они будут стоячими волнами, и физика будет совершенно другой.

Во втором случае, когда имеется вырождение, физические характеристики вещественнозначных функций, вообще говоря, отличны от комплекснозначных. Например, в молекулярной физике$\Pi$состояния обычно имеют такое вырождение: вы можете выбрать

• $\Pi_x$и$\Pi_y$состояния, которые являются вещественными, имеют узел на$x$и$y$плоскости, соответственно, имеют соответствующий множитель$x$и$y$в волновой функции и имеют нулевую ожидаемую компоненту углового момента вдоль$z$ось или
• $\Pi_\pm$состояний, которые имеют комплексный коэффициент$x\pm i y$и не узлов, и имеют определенный момент импульса$\pm \hbar$о$z$ось.

Таким образом: вы всегда можете выбрать действительное собственное состояние, но оно не всегда может быть тем, которое вам нужно.

В дополнение к отличному ответу Эмилио и в ответ на ваш второй вопрос: особенно в потенциальных проблемах 1D (т.е.$\hat H = \frac{1}{2m} \hat p^2 + V(\hat x)$), все связанные состояния можно одновременно сделать реальными. Это связано с теоремой о том, что связанные состояния в 1D невырождены; затем,$\psi$и$\psi^*$, которые оба являются решениями в любой размерности, должны быть линейно зависимы.

Ситуация отличается, если у вас есть магнитное поле; то рецепт («минимальная связь») состоит в том, чтобы заменить$\hat p \gets (\hat p - e A(\hat x))$, что приводит к комплексному гамильтониану ($A$векторный потенциал).

Кроме того, приведенный выше аргумент справедлив для потенциала «хорошего поведения»; см. http://arxiv.org/abs/0706.1135 для современного взгляда на это.

Наконец, что касается вашего комментария о расчете ленточной структуры: я не уверен, что вы имеете в виду именно это, но, по крайней мере, в контексте определенных кодов, вы часто будете слышать, что расчет центросимметричной структуры без спин-орбитальной связь «настоящая», но это не означает, что истинные собственные функции$\psi_{nk}$вещественны (помните, что они содержат фактор плоской волны$e^{ikr}$). Скорее, коэффициенты в базе, используемой для расчета, могут быть выбраны как реальные.