Конечная, квадратная, потенциальная яма

Question

Конечная, квадратная, потенциальная яма

71GA

Допустим, у нас есть конечная квадратная яма, симметричная вокруг $y$ оси (рисунок ниже).

введите описание изображения здесь

Я знаю, как и почему общие решения ОДУ второго порядка (стационарного уравнения Шредингера) для областей I, II и III таковы.

\begin{aligned} Я: & ψ_{я} & "=" А е^{κ Икс} \\ III: & ψ_{III} & "=" Б е^{- κ Икс} \\ II: & ψ_{II} & "=" С потому что (к Икс) + Д грех (к Икс) \end{aligned}

$\begin{align} \text{I:}& & \psi_{\text{I}}&= Ae^{\kappa x} \\ \text{III:}& & \psi_{\text{III}}&= Be^{-\kappa x} \\ \text{II:}& & \psi_{\text{II}}&= C \cos(k x) + D\sin(kx) \end{align}$

Но теперь я дошел до того, что мне нужно начать применять граничные условия, чтобы получить конкретное решение. Итак, я начинаю с 1-го граничного условия, которое $\psi_{\text{I}}\left(-\frac{d}{2}\right)=\psi_{\text{II}}\left(-\frac{d}{2}\right)$ для левого потенциального сдвига и $\psi_{\text{II}}\left(\frac{d}{2}\right)=\psi_{\text{III}}\left(\frac{d}{2}\right)$ для правильного сдвига потенциала. Это оставляет меня с системой из 2 уравнений (одно для левого и одно для правого сдвига потенциала):

\begin{aligned} левый потенциальный сдвиг: & А е^{- κ \frac{г}{2}} & "=" С потому что (к \frac{г}{2}) - Д грех (к \frac{г}{2}) \\ сдвиг потенциала вправо: & Б е^{- κ \frac{г}{2}} & "=" С потому что (к \frac{г}{2}) + Д грех (к \frac{г}{2}) \end{aligned}

$\begin{align} {\scriptsize\text{left potential shift:}}& & Ae^{-\kappa \frac{d}{2}} &= C \cos\left(k\tfrac{d}{2}\right) - D\sin\left(k \tfrac{d}{2}\right)\\ {\scriptsize \text{right potential shift:}}& & Be^{-\kappa \frac{d}{2}} &= C \cos\left(k\tfrac{d}{2}\right) + D\sin\left(k \tfrac{d}{2}\right)\\ \end{align}$

Вопрос 1:

С этого момента авторы большинства книг, похоже, мало что объясняют. Большинство из них только говорят, что мы должны использовать $\boxed{C\!=\!0}$ найти нечетные решения и $\boxed{D\!=\!0}$ решить для четных решений . На чем основан этот аргумент?

себ

Я помню вычисление этой задачи (мрачно). Я не уверен, что понимаю ваш вопрос. Однако вам также необходимо убедиться, что производные ваших волновых функций гладкие на границах, т.е.

\frac{\partial ψ_{I}}{\partial x} = \frac{\partial ψ_{I I}}{\partial x}

$\frac{\partial \psi_I}{\partial x} = \frac{\partial \psi_{II}}{\partial x}$ в

- d / 2

$-d/2$ и то же самое с другой стороны. Это даст вам больше уравнений, и с их помощью вы сможете настроить систему уравнений и решить ее для трех регионов. Я не уверен, почему ваши книги пытаются разделить это на четные и нечетные решения.

себ

на самом деле, не должно ли быть наоборот, т.е.

C = 0

$C=0$ для нечетных решений и

D = 0

$D=0$ для четных решений, так как синус нечетный, а косинус четный?

71GA

Я знаю, что мне также нужно приравнять производные, но как мне это решить? И да, я отредактировал пост соответствующим образом =)

себ

Я просто хотел бы добавить к ответу DaniH, что это НАМНОГО легче вычислить, если вы поместите левую стену в

x = 0

$x=0$ и правая стена в

x = L

$x = L$ где L - длина вашего ящика. Я не знаю, читаете ли вы по-немецки, если не просто используйте гугл-переводчик и взгляните на уравнения в этом посте в Википедии.

себ

о, и вы решаете это, "посмотрев на это" ;-). в какой-то момент вы доберетесь до

ψ (x = 0) = C \cdot 1 + D \cdot 0

$\psi(x=0) = C \cdot 1 + D \cdot 0$ то есть, если вы поместите левую сторону коробки в начало координат. Затем вы предполагаете, что это уравнение должно быть равно нулю, потому что вы хотите, чтобы ваша волновая функция была равна нулю на стене (из физики), что, в свою очередь, дает вам

C = 0

$C = 0$ . Это то же самое, что делить ваши решения на четные и нечетные, когда вы не ставите левую стену в начале координат.

Ответы (1)

Конечная, квадратная, потенциальная яма

Я помню вычисление этой задачи (мрачно). Я не уверен, что понимаю ваш вопрос. Однако вам также необходимо убедиться, что производные ваших волновых функций гладкие на границах, т.е. $\frac{\partial \psi_I}{\partial x} = \frac{\partial \psi_{II}}{\partial x}$ в $-d/2$ и то же самое с другой стороны. Это даст вам больше уравнений, и с их помощью вы сможете настроить систему уравнений и решить ее для трех регионов. Я не уверен, почему ваши книги пытаются разделить это на четные и нечетные решения.
на самом деле, не должно ли быть наоборот, т.е. $C=0$ для нечетных решений и $D=0$ для четных решений, так как синус нечетный, а косинус четный?
Я знаю, что мне также нужно приравнять производные, но как мне это решить? И да, я отредактировал пост соответствующим образом =)
Я просто хотел бы добавить к ответу DaniH, что это НАМНОГО легче вычислить, если вы поместите левую стену в $x=0$ и правая стена в $x = L$ где L - длина вашего ящика. Я не знаю, читаете ли вы по-немецки, если не просто используйте гугл-переводчик и взгляните на уравнения в этом посте в Википедии.
о, и вы решаете это, "посмотрев на это" ;-). в какой-то момент вы доберетесь до $\psi(x=0) = C \cdot 1 + D \cdot 0$ то есть, если вы поместите левую сторону коробки в начало координат. Затем вы предполагаете, что это уравнение должно быть равно нулю, потому что вы хотите, чтобы ваша волновая функция была равна нулю на стене (из физики), что, в свою очередь, дает вам $C = 0$ . Это то же самое, что делить ваши решения на четные и нечетные, когда вы не ставите левую стену в начале координат.

Дани · Answer 1

Короткий ответ : ваш гамильтониан коммутирует с оператором четности. Следовательно, собственные функции, диагонализирующие гамильтониан, можно искать внутри собственных функций, диагонализирующих оператор четности, которые представляют собой множества четных и нечетных функций. Следовательно, вы можете использовать условие $C=0$ искать странные решения, так как $\sin(x)$ странно, и $D=0$ искать ровные решения, т.к. $\cos(x)$ даже.

Этот результат является естественным, так как потенциал прямоугольной ямы даже $V(x)=V(-x)$ и поэтому у нас есть

ЧАС ψ (Икс) "=" Е ψ (Икс)

$H\psi(x)=E\psi(x)$

ЧАС ψ (- Икс) "=" Е ψ (- Икс)

$H\psi(-x)=E\psi(-x)$

Используя линейность, симметричные и антисимметричные комбинации собственных функций также будут решениями. Они соответствуют четным и нечетным решениям соответственно.

Длинный ответ : первое, что я хочу, чтобы вы заметили, это то, что, поскольку уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка, существуют два граничных условия. В этом случае обычно выбирают решение уравнения для граничных условий Коши, в котором заданы значение волновой функции и производной на границе. Следовательно, вам нужно соответствовать

ψ_{я} (- \frac{г}{2}) "=" ψ_{я я} (- \frac{г}{2})

$\psi_I \left(-\dfrac{d}{2}\right)=\psi_{II} \left(-\dfrac{d}{2}\right)$

ψ_{я}^{'} (- \frac{г}{2}) "=" ψ_{я я}^{'} (- \frac{г}{2})

$\psi'_I \left(-\dfrac{d}{2}\right)=\psi'_{II} \left(-\dfrac{d}{2}\right)$ и аналогично справа

x = d / 2

$x=d/2$ .

Учитывая левую сторону колодца, получаем

А опыт [- κ г / 2] "=" С потому что (к г / 2) - Д грех (к г / 2)

$A \exp[-\kappa d/2]= C \cos(kd/2)-D\sin(kd/2)$

κ А опыт [- κ г / 2] "=" к С грех (к г / 2) + к Д потому что (к г / 2)

$\kappa A \exp[-\kappa d/2]= k C\sin(kd/2)+kD\cos(kd/2)$

Разделив оба выражения, получим

\frac{κ}{к} "=" \frac{С потому что (к г / 2) - Д грех (к г / 2)}{С грех (к г / 2) + Д потому что (к г / 2)}

$\dfrac{\kappa}{k}=\dfrac{C \cos(kd/2)-D\sin(kd/2)}{C\sin(kd/2)+D\cos(kd/2)}$

Проделав тот же расчет для другой стороны, получим

\frac{κ}{к} "=" \frac{С потому что (к г / 2) + Д грех (к г / 2)}{С грех (к г / 2) - Д потому что (к г / 2)}

$\dfrac{\kappa}{k}=\dfrac{C \cos(kd/2)+D\sin(kd/2)}{C\sin(kd/2)-D\cos(kd/2)}$

Приравнивание обоих выражений дает после некоторой алгебры условие

С Д "=" - С Д

$CD=-CD$

что гарантирует, что вы можете искать нечетные/четные решения отдельно, так как либо $C$ или $D$ но не оба должны быть равны нулю.

Боже мой, это оооочень классный ответ! Пожалуйста, люди проголосуйте за это!

Конечная, квадратная, потенциальная яма

71GA

себ

себ

71GA

себ

себ

Ответы (1)

Дани

71GA

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Решение квантового радиального уравнения для бесконечного потенциального сферического кольца при l=0l=0l=0

QM: решение конечного квадрата потенциала без предположения о симметрии

Каковы энергетические состояния частицы в дельта-потенциальной яме V(x)=−δ(x)V(x)=−δ(x)V(x)=-\delta(x)?

Четные и нечетные решения уравнения Шредингера

Решение уравнения Шредингера для постоянного потенциала ящика?

Стационарные состояния треугольной призмы

Как рассчитать временную эволюцию волновой функции в одномерном потенциале с бесконечной квадратной ямой?