Бозонное поле Шредингера [закрыто]

The $\phi_i(r)$образуют ортонормированный базис (интегрируемых с квадратом) функций на$\mathbb{R}$, т.е. у вас должно быть отношение вида

$$\int dr\,\phi_i(r)\phi_j^*(r)=\delta_{ij}.$$ Это то, что вам нужно для расширения $\psi(r,t)$и $\psi^\dagger(r,t)$так, как вы сделали выше. Вы можете использовать это, чтобы написать $b_i(t)$с точки зрения $\psi(r,t)$следующим образом: $$\int dr\,\phi_i(r)^*\psi(r,t)=\int dr\sum_{j}\phi_i^*(r)\phi_j(r)b_j(t)=\sum_j \delta_{ij} b_j (t)= b_i(t).$$ Точно так же вы получаете $$\int dr\,\phi_i(r)\psi^\dagger(r,t)= b_i^\dagger(t).$$ Таким образом, у вас есть $$[b_i(t),b_j(t)]=\int dr\,dr'\,\phi_i(r)\phi_j^*(r)[\psi(r,t),\psi^\dagger(r',t)]=\int dr\,dr'\,\phi_i(r)\phi_j^*(r) \delta(r-r')\\ =\int dr\,\phi_i(r)\phi_j^*(r)=\delta_{ij}.$$