Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Question

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Redcrazyguy

У меня возникли проблемы с несколькими шагами рассуждения.

Мой первый вопрос заключается в том, почему кинетическая энергия является диагональной в представлении импульса и почему это означает, что гамильтониан в целом будет диагональным в этом представлении (насколько я понимаю, потенциал может вызывать рассеяние, которое проявляется в недиагональных терминах). В книге ( Теория поля конденсированной материи (2-е изд.) Александра Олтланда и Бена Саймонса ) говорится, что нужно начинать с представления импульса и обобщать на основе положения. Я предполагаю, что это связано с тем, что гамильтониан является диагональным в основе импульса, что в книге говорится для использования в качестве отправной точки. Просто потому, что в импульсном пространстве оператор кинетической энергии ведет себя как c-число (т.е. $\frac{p^2}{2m}$ где $p$ является c-числом).

Вторая часть, с которой у меня возникли проблемы, связана с фактическим происхождением. Мои шаги следующие. Начнем с того, что я считаю вторым квантованным представлением гамильтониана $\hat{H}_1$ в импульсном представлении

{\hat{ЧАС}}_{1} "=" \sum_{п "=" 0}^{\infty} ⟨ п | \frac{п^{2}}{2 м} + U (п) | п ⟩ а_{п}^{†} а_{п}

$\hat{H}_1=\sum^{\infty}_{p=0}\langle p|\frac{p^2}{2m}+U(p)|p\rangle a_p^\dagger a_p$ где

a^{†}

$a^\dagger$ является оператором создания,

a

$a$ — оператор аннулятора, а

p

$p$ - импульс в представлении импульсного пространства.

Используя оператор проектирования как унитарное преобразование, мы меняем базис на позиционное представление

{\hat{ЧАС}}_{1} "=" \sum_{п "=" 0}^{\infty} \int ⟨ п | Икс ⟩ ⟨ Икс | \frac{п^{2}}{2 м} + U (п) | Икс ⟩ ⟨ Икс | п ⟩ а_{п}^{†} а_{п} г^{г} р

$\hat{H}_1=\sum_{p=0}^\infty\int\langle p|x\rangle\langle x|\frac{p^2}{2m}+U(p)| x\rangle\langle x|p\rangle a_p^\dagger a_pd^dr$ В этом я не совсем уверен, так как думаю

⟨ p | \frac{p^{2}}{2 m} + U (p) | p ⟩

$\langle p|\frac{p^2}{2m}+U(p)|p\rangle$ следует рассматривать как константу, поэтому я не уверен, разрешено ли мне вставлять идентификатор

I = \int | x ⟩ ⟨ x | d^{d} r

$I=\int |x\rangle\langle x|d^dr$ внутри ожидаемого значения. Я также не совсем уверен, почему мы можем брать сумму в одном и том же диапазоне, поскольку в целом для оператора единственного тела

{\hat{O}}_{1}

$\hat{O}_1$

{\hat{О}}_{1} "=" \sum_{мю ν} ⟨ мю | \hat{о} | ν ⟩ а_{мю}^{†} а_{ν}

$\hat{O}_1=\sum_{\mu\nu}\langle\mu|\hat{o}|\nu\rangle a_\mu^\dagger a_\nu$ Является ли область определения интеграла такой же, потому что оператор проектирования уникален, и мы проецируем на один и тот же диапазон? Приведенное решение

\hat{ЧАС} "=" \int а^{†} (р) [\frac{{\hat{п}}^{2}}{2 м} + U (р)] а (р) г^{г} р

$\hat{H}=\int a^\dagger(\textbf{r})\left[ \frac{\hat{\textbf{p}}^2}{2m}+U(\textbf{r})\right]a(\textbf{r})d^dr$ который я могу получить, используя идентификатор

а (Икс) "=" \sum_{к} ⟨ Икс | к ⟩ а_{к}

$a(x)=\sum_k\langle x|k\rangle a_k$

Любая помощь очень ценится, спасибо!

Майк Стоун

Ты имеешь ввиду

U (x)

$U(x)$ скорее, чем

U (p)

$U(p)$ ? И чтобы быть осторожным, вам нужны два разных

x

$x$ а не один в вашем

x

$x$ интеграл, но если вы имеете в виду

U (x)

$U(x)$ есть дельта-функции, которые позволяют интегрировать одну из них.

Redcrazyguy

Я думаю, это должно быть

U (p)

$U(p)$ когда в импульсном пространстве? Это один из моих вопросов, я почти уверен, что мне нужно сделать два интеграла в пространстве, но я не понимаю, как это сделать и при этом получить гамильтониан решения.

Redcrazyguy

Теория поля конденсированного состояния (2-е изд.) Александра Альтланда и Бена Саймонса

Redcrazyguy

Это упражнение на стр. 48, если вы можете найти копию в Интернете.

Тобиас Фюнке

В нем говорится: «Начиная с представления импульса (в котором кинетическая энергия диагональна) [...]». - не то чтобы гамильтониан был диагональным.

Redcrazyguy

Я думал, что это имело в виду работу между уравнениями 2.10 и 2.11, где они выражают оператор в гильбертовом пространстве, где он диагональен. Я начал с этого шага, приняв гамильтониан за диагональный оператор. Если просто кинетическая энергия является диагональной, то зачем по-прежнему специально использовать импульсное представление, а не просто сразу переходить к произвольному базису?

Тобиас Фюнке

Я не знаю. Как я пытался сказать в своем ответе, в конце концов, это не имеет большого значения. Возьмите любой произвольный базис и используйте законы преобразования между операторами создания и уничтожения. Вы можете использовать импульсный базис, базис, в котором одночастичный гамильтониан является диагональным, или любой произвольный неопределенный базис.

Redcrazyguy

Хорошо. Работает ли это в какой-то степени правильно, учитывая начало импульса? Что меня все еще немного смущает, так это то, могу ли я вставить отношение полноты в выражение матричного элемента, и если мне нужно использовать два разных

x

$x$ s как я могу избавиться от одного из них, чтобы только один остался?

Тобиас Фюнке

Как я уже сказал: Вы можете взять любую основу. Насколько я вижу, нет никаких реальных преимуществ или недостатков в выборе конкретного. ну просто пиши

⟨ ν | o | μ ⟩ = ⟨ ν | I o I | μ ⟩

$\langle \nu |o|\mu \rangle = \langle \nu | \mathbb I\, o\, \mathbb I|\mu \rangle$ . Тот факт, что один интеграл будет сокращаться, на самом деле является квантовой механикой одной частицы, например, вычислением оператора импульса (и внешнего потенциала, что тривиально) в базисе положения.

Тобиас Фюнке

Я добавил краткий вывод об изменении основы. Формально то же самое можно сделать и с представлением позиции. Единственное, что остается, — это оценка матричного элемента.

Ответы (1)

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Ты имеешь ввиду $U(x)$ скорее, чем $U(p)$ ? И чтобы быть осторожным, вам нужны два разных $x$ а не один в вашем $x$ интеграл, но если вы имеете в виду $U(x)$ есть дельта-функции, которые позволяют интегрировать одну из них.
Я думаю, это должно быть $U(p)$ когда в импульсном пространстве? Это один из моих вопросов, я почти уверен, что мне нужно сделать два интеграла в пространстве, но я не понимаю, как это сделать и при этом получить гамильтониан решения.
Теория поля конденсированного состояния (2-е изд.) Александра Альтланда и Бена Саймонса
Это упражнение на стр. 48, если вы можете найти копию в Интернете.
В нем говорится: «Начиная с представления импульса (в котором кинетическая энергия диагональна) [...]». - не то чтобы гамильтониан был диагональным.
Я думал, что это имело в виду работу между уравнениями 2.10 и 2.11, где они выражают оператор в гильбертовом пространстве, где он диагональен. Я начал с этого шага, приняв гамильтониан за диагональный оператор. Если просто кинетическая энергия является диагональной, то зачем по-прежнему специально использовать импульсное представление, а не просто сразу переходить к произвольному базису?
Я не знаю. Как я пытался сказать в своем ответе, в конце концов, это не имеет большого значения. Возьмите любой произвольный базис и используйте законы преобразования между операторами создания и уничтожения. Вы можете использовать импульсный базис, базис, в котором одночастичный гамильтониан является диагональным, или любой произвольный неопределенный базис.
Хорошо. Работает ли это в какой-то степени правильно, учитывая начало импульса? Что меня все еще немного смущает, так это то, могу ли я вставить отношение полноты в выражение матричного элемента, и если мне нужно использовать два разных $x$ s как я могу избавиться от одного из них, чтобы только один остался?
Как я уже сказал: Вы можете взять любую основу. Насколько я вижу, нет никаких реальных преимуществ или недостатков в выборе конкретного. ну просто пиши $\langle \nu |o|\mu \rangle = \langle \nu | \mathbb I\, o\, \mathbb I|\mu \rangle$ . Тот факт, что один интеграл будет сокращаться, на самом деле является квантовой механикой одной частицы, например, вычислением оператора импульса (и внешнего потенциала, что тривиально) в базисе положения.
Я добавил краткий вывод об изменении основы. Формально то же самое можно сделать и с представлением позиции. Единственное, что остается, — это оценка матричного элемента.

Тобиас Фюнке · Answer 1

Выражение для $O_1$ не зависит от того, в каком одночастичном базисе $\{|\nu\rangle\}_{\nu}$ вы это выражаете.

Например, вы можете начать с вашего выражения $O_1$ а затем использовать соотношение

а_{ν} \equiv \int г Икс ф_{ν}^{*} (Икс) а (Икс),

$a_{\nu} \equiv \int \mathrm d x \,\varphi^*_{\nu}(x)\, a(x) \quad ,$ где

φ_{ν} (x)

$\varphi_{\nu}(x)$ - одночастичная волновая функция, соответствующая одночастичному состоянию

| ν ⟩

$|\nu\rangle$ . Используя ортонормированность этих функций и оценивая матричный элемент

⟨ x^{'} | p^{2} / 2 m + U (x) | x ⟩

$\langle x^\prime|p^2/ 2m + U(x)|x\rangle$ , который должен выглядеть знакомым из нерелятивистской (одночастичной) квантовой механики, вы получите желаемое выражение.

В качестве альтернативы, и я думаю, что это то, что вы пытаетесь: попробуйте вставить отношение полноты

я "=" \int г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс |

$\mathbb I = \int \mathrm d x\, |x\rangle \langle x|$ дважды (но с разными индексами) в матричном элементе, а затем использовать

а (Икс) "=" \sum_{ν} ф_{ν} (Икс) а_{ν} .

$a(x) = \sum\limits_{\nu} \varphi{_\nu}(x)\, a_{\nu} \quad .$

Чтобы понять, почему кинетическая энергия является диагональной в представлении импульса, просто используйте $o=p^2/2m$ и выразить $O_1$ в той основе. Однако, если $o=p^2/2m + U(x)$ , то вообще $O_1$ не будет диагональным в импульсном базисе.

В качестве примера покажем, как изменить представление $O_1$ из ортонормированного одночастичного базиса $\{|\nu\rangle\}_{\nu}$ к $\{|n\rangle\}_{n}$ . Для начала мы видим, что

О_{1} "=" \sum_{мю ν} ⟨ мю | о | ν ⟩ а_{мю}^{†} а_{ν} "=" \sum_{м н} \sum_{мю ν} ⟨ мю | м ⟩ ⟨ м | о | н ⟩ ⟨ н | ν ⟩ а_{мю}^{†} а_{ν},

$O_1 = \sum\limits_{\mu\nu} \langle \mu|o|\nu\rangle \, a^\dagger_{\mu}\, a_{\nu} = \sum\limits_{mn} \sum\limits_{\mu \nu} \langle \mu|m\rangle\langle m|o|n\rangle \langle n|\nu\rangle \,a^\dagger_{\mu}\, a_{\nu} \quad ,$

где мы вставили тождественный оператор (одночастичного гильбертова пространства) $\displaystyle \mathbb I = \sum\limits_n |n\rangle \langle n|$ дважды. Теперь мы должны отметить, что

\begin{aligned} а_{м}^{†} & "=" \sum_{мю} ⟨ мю | м ⟩ а_{мю}^{†} \\ а_{н} & "=" \sum_{ν} ⟨ н | ν ⟩ а_{ν}, \end{aligned}

$\begin{align} a^\dagger_m &= \sum\limits_{\mu} \langle \mu |m\rangle \,a^\dagger_{\mu}\\ a_n &= \sum\limits_{\nu} \langle n |\nu\rangle \,a_{\nu} \quad , \end{align}$ что в конечном итоге дает

О_{1} "=" \sum_{м н} ⟨ м | о | н ⟩ а_{м}^{†} а_{н} .

$O_1 = \sum\limits_{mn} \langle m|o|n\rangle \, a^\dagger_m a_n \quad .$

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Redcrazyguy

Майк Стоун

Redcrazyguy

Redcrazyguy

Redcrazyguy

Тобиас Фюнке

Redcrazyguy

Тобиас Фюнке

Redcrazyguy

Тобиас Фюнке

Тобиас Фюнке

Ответы (1)

Тобиас Фюнке

Как именно определяется «нормальный порядок оператора»?

Волновые функциональные квантово-полевые собственные состояния Шрёдингера

Коммутационные соотношения при вторичном квантовании

Явные выражения для операторов создания и уничтожения

Восстановление QM из QFT

Связь первого квантования со вторым квантованием (квантовая теория поля)

Картина Гейзенберга о сложных полевых операторах

Существует ли естественный оператор, канонически сопряженный с гамильтонианом?

Квантовые операторы: тождество

Что означает порядок операторов создания/уничтожения?