Недавно я наткнулся на несколько работ Монжа и Лагранжа примерно в конце 18-го века, рассматривающих развертывающиеся поверхности как «складчатые» плоскости, используя конкретно слово «плие» (т.е. сложенные). Теперь, когда эти поверхности теперь рассматриваются как часть дифференциальной геометрии, есть ли какая-либо связь между термином «многообразие», введенным Риманом как «Mannigfaltigkeit» в 1854 году, и терминами «складка» «Falte» и «складка» «falten»?
Под связью я подразумеваю не просто понятийную, а фактически то, что сказано эксплицитно (Гауссом, Риманом и т. д.); т. е. что эти математики имели в виду, что термин «Mannigfaltigkeit» и новая область исследования (дифференциальная геометрия) неотъемлемо и преднамеренно связаны со складчатым пространством.
Большое спасибо!
Понятие многообразия сегодня часто мотивируют примерами простых поверхностей, в том числе и развертывающихся, так что это естественное предположение, но вряд ли так было исторически. Немецкий Mannigfaltigkeit ассоциируется не столько с геометрической складкой, сколько с «многим, сложенным в одно», иначе переводимым как «множественность». Кантор даже использовал Mannigfaltigkeit для общих множеств до 1890-х годов, когда он переключился на Menge (буквально «количество»), хотя, согласно Гуссерлю, « эта концепция не совпадает с концепцией Римана и с тем, что используется в других местах в теории геометрии, согласно которой многообразие есть совокупность не только соединенных, но и упорядоченных элементов, и, с другой стороны, не только соединенных, но непрерывно связанных элементов ».
Сам Риман в своей лекции использует Mannigfaltigkeit как почти синоним «величины», говоря, что он поставил перед собой « задачу построения понятия многократно расширенной величины », и при первом использовании слова ссылается на различные интуиции, Mannigfaltigkeit может быть в равной степени дискретным: « В зависимости от того, существует... непрерывный путь от одного к другому или нет, они образуют непрерывное или дискретное многообразие; отдельные специализации называются в первом случае точками, во втором — элементами» . Он также совершенно ясно говорит о своих влияниях: "кроме некоторых очень коротких намеков по этому вопросу, данных тайным советником Гауссом в его вторых мемуарах о биквадратичных остатках, в Gottingen Gelehrte Anzeige и в его Jubileebook, и некоторых философских исследованиях Гербарта, я не мог использовать никакие предыдущие труды». Гербарт немецкий философ, прояснивший и популяризировавший кантовскую философию пространства, он также оказал влияние на Грассмана и его «науку о величине» .
Мотивация, которую он цитирует, связана со сложным анализом: « Такие исследования стали необходимостью для многих разделов математики, например для обработки многозначных аналитических функций; и отсутствие их, несомненно, является главной причиной того, почему знаменитая теорема Абеля и достижения Лагранжа, Пфаффа, Якоби для общей теории дифференциальных уравнений до сих пор оставались безрезультатными ». Наконец, основное внимание в лекции уделяется локальным метрическим свойствам многообразий, особенно кривизне, но развертывающиеся поверхности складываются из плоских, т.е. локально плоские и имеют нулевую кривизну. Так что они не будут интересны для того, что имеет в виду Риман.
Само слово « Mannigfaltigkeit » не было изобретено Риманом. Это слово означает (большое) разнообразие или богатство типов в повседневном смысле. Его можно использовать для описания того, что существует множество разных вещей родственного типа, например, множество разных деревьев или что-то в этом роде.
Хотя я полагаю, что существует этимологическая связь, в обычном использовании этого слова эта идея кажется довольно утерянной. Таким образом, пока нет фактических доказательств этого, я бы скептически относился к этой связи.
Еще одним доказательством отсутствия отношения к «складке» является пример «непрерывного многообразия» в «реальном мире», который приводит Риман в « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen», статье ссылка на комментарий, это: colors.
Общее объяснение того, чем занимался Риман, см. в хорошем ответе Конифолда.
Я не уверен, касается ли этот вопрос математики или этимологии. В последнем случае ответ таков: да, суффикс -fold, -faltig, -fältig происходит от существительного fold, Falte. Вы можете посмотреть их в любом этимологическом словаре, например здесь: http://www.dwds.de/?qu=Falte
Корни falten, Falte, Zwiefalt, Sorgfalt и Mannichfaltigkeit (исходное использование Кантора) или Mannigfaltigkeit (современное использование) одинаковы, но на вопрос следует ответить «определенно нет». Исходное значение глагола «falten» (складывать) больше не присутствует в Zwiefalt = Zweifel (сомнение) и Sorgfalt (забота). То же верно и для многообразия = Mannigfaltigkeit = Vielfalt. Ударение на viel = много, несколько. Ни Риман, ни Кантор не имели в виду свернутое пространство.
Дэйвид
ФДБ