Бюджеты Delta-v и модифицированная гравитация

Я строю мягкий научно-фантастический мир, в котором гравитация работает немного по-другому: ускорение, вызванное гравитацией, падает со скоростью, намного превышающей наш обратный квадрат; и ускорение из-за гравитации «переворачивается» и колеблется через равные промежутки времени, становясь скорее отталкивающим, чем привлекательным, и наоборот (похоже, я думаю, на MOND , но в меньших планетарных масштабах).

Ускорение$g$опыт объекта незначительной массы можно смоделировать с помощью:

$g\approx Se^{-\lambda du}\cos(du+\phi )$

где

• $S$- ускорение свободного падения на поверхности планеты ¹ (в$m/s^{2}$),
• $\lambda$- безразмерная постоянная затухания (описывает постепенное падение силы),
• $d$- расстояние от поверхности в метрах,
• $u$- скалярная константа ² (преобразует метры в радианы угловой меры),
• $\phi$- фазовый угол, почти всегда нулевой и им можно пренебречь.

^{1 Если вы будете следовать математике, гравитационные силы под поверхностью колеблются с экспоненциально большей величиной, что, очевидно, разорвет планету на куски. Итак, формула хороша только для гравитации над поверхностью. Ниже применяется другой (и неважный) набор правил.}

^{2$u=0.5\pi /d_0$, где$d_0$расстояние между двумя точками невесомости или$1/2$длина волны косинуса.}

$e^{-\lambda du}$и$\cos(du)$безразмерны, оставляя результат в единицах$m/s/s$. Умножение результата на массу объекта дает силу, приложенную к объекту, которая может быть положительной или отрицательной.

Поскольку это построение мира, многие из этих параметров переключаются и не возникают (похоже) из фундаментальных взаимодействий. Это нормально, я думаю. Мне не нужно полностью конкретизировать и обосновывать, почему эти константы именно такие, какими я их выбрал (или даже почему гравитация отличается), я могу просто спрятать их в черный угол и работать с их выводом.

У этой формы гравитации есть некоторые странные свойства. Вот график:

_{$\lambda =0.5, S=1$}

Когда объект поднимается над поверхностью, ускорение свободного падения падает до тех пор, пока на некотором расстоянии$\pi /u$, ускорение становится равным нулю и инвертируется, превращаясь в отталкивающее. Векторы силы направлены в сторону от поверхности планеты, и объект ускоряется, пока не пересечет повторяющуюся точку невесомости и не начнет замедляться.
Однако, поскольку расстояние, на котором происходит ускорение/замедление, постоянно, а величина ускорения/замедления всегда уменьшается, недвигательный объект всегда будет ускоряться от планеты — навсегда — после того, как он пересечет начальную точку невесомости. над поверхностью планеты. Чтобы даже приблизиться к планете, объект должен иметь некоторую минимальную «скорость входа».

Как выглядят орбиты?

Гравитация колеблется между положительным и отрицательным, притягательным и отталкивающим. (На графике притягивающие области выделены сплошным цветом.) Кажется, что устойчивые орбиты бывают двух разновидностей: орбиты, которые остаются исключительно внутри притягивающих областей (в основном круговые), и орбиты, которые колеблются между притягивающими и отталкивающими областями (в основном синусоидальные). Высокоэллиптические орбиты невозможны; если у объекта достаточно орбитальной энергии, чтобы пересечь более одной точки невесомости, он будет выброшен из системы. Траектории, которые почти пересекают вторую точку невесомости, являются «критическими».

_{(Привлекательные области выделены черным цветом, отталкивающие — темно-серым цветом. В центре — траектории относительно невращающегося тела.)
Здесь мы видим объект (второе изображение) на критически колеблющейся траектории, падающий на планету, но не обладающий достаточной кинетической энергией для преодоления область отталкивания и ускоряется обратно, хотя и недостаточно сильно, чтобы войти во вторую область отталкивания, и так до бесконечности. Тангенциальная скорость кажется почти независимой от радиальной, а это означает, что два объекта могут иметь общую орбитальную область, но при этом иметь совершенно разные скорости по сравнению друг с другом. Отсюда более толстая полоса прослеживаемых орбит (представляющих более быстрое движение) в пределах большей, более медленной и разреженной траектории.}

Стабильные орбиты существуют только внутри областей притяжения, где векторы силы указывают на планету. Круговые траектории в этих регионах могут иметь совершенно разные орбитальные скорости из-за большого гравитационного градиента. В пике области, где вектор силы самый сильный, орбитальная скорость самая высокая, тогда как по обе стороны от пика скорости уменьшаются и приближаются к нулю. Геосинхронные траектории не ограничиваются пространством областей невесомости, но также могут колебаться между областями притяжения и отталкивания. На поверхности планеты это выглядело бы как приближение и удаление спутника (в одном и том же положении или по траектории в виде восьмерки) в течение дня.

_{Вблизи более высоких орбит проходят несколько синхронных траекторий, почти «подпрыгивающих на месте».}

С чем у меня проблемы

Я думаю, что моя проблема в основном математическая (я знаю столько математики, сколько должен программист среднего уровня, но недостаточно, чтобы проанализировать и вывести уравнения, которые мне нужны, чтобы ответить на мой собственный вопрос, я думаю).
Я бы хотел, чтобы мои путешественники исследовали такие объекты, и хотя свойства этой гравитационной системы магические, сами путешественники скованы уравнением ракеты Циолковского .
Что мне нужно, так это метод вычисления дельта-v-бюджетов с учетом модифицированной гравитации.

Скажем, мои путешественники хотят взлететь с планеты на некоторую высоту над поверхностью (предположим, что там нет атмосферы). Им нужен метод, чтобы вычислить, сколько дельта-v требуется, чтобы добраться туда (что, вероятно, включает в себя замедление «там», поскольку отталкивающие области будут работать, чтобы ускорить их выход из системы), а также сколько дельты -v им нужно вернуться . Помните, что отталкивающие области помогут им выбраться с планеты (и, возможно, даже немного скруглить свою орбиту), но они будут сражаться с теми же самыми областями на обратном пути.
Возможно, проблема, выраженная в простейшем виде, будет состоять в том, чтобы выяснить, какая дельта-v требуется для радиального перемещения из одной области — отталкивающей или притягательной — в любую другую.
Ради простоты нас беспокоят только копланарные изменения траектории.