Что делают студенты бакалавриата по математике для своей диссертации, если они ее сделали, помимо пояснительной или прикладной математики?
Я думал, что исследования, которые они проводят, носят прикладной характер, скажем, с использованием математики в социальных науках или проблемы в одной из менее строгих естественных наук, или обсуждение такой проблемы (вот что такое пояснение, верно?).
Мне кажется, что нечто неэкспозиционное или неприкладное является оригинальным вкладом в математику, чем занимаются аспиранты.
Я присутствовал на нескольких презентациях дипломных работ бакалавров по чистой математике. Я был весьма удивлен: они доказали что-нибудь новое? Никогда не удосужился спросить из-за боязни выглядеть глупо. Будет ли необычным ожидать, что студент докажет что-то новое? Если они ничего нового не доказали, то о чем, черт возьми, они говорят?
Вроде как если не ново, то лекцию читают. Если это новое, это похоже на достижение уровня доктора философии.
Я имею в виду, часто ли студенты-математики доказывают что-то новое?
Я не соглашусь с Освальдом. По моему опыту, студенты бакалавриата не часто доказывают что-то новое в чистой математике. Я бы даже не сказал, что магистерские диссертации часто содержат новые результаты. На это есть несколько основных причин.
Во-первых, чистая математика работает на уровне, не очень доступном для большинства студентов, даже занимающихся исследованиями. Студенты, занимающиеся исследованиями, часто находятся далеко за пределами своих возможностей и цепляются за жизнь изо всех сил. В основном это можно объяснить просто нехваткой времени, чтобы освоиться с тем, что считается современной математикой. Большинство курсов по математике на уровне бакалавриата посвящены математике 50-100-летней давности (если не старше).
Во-вторых, студенты часто не имеют математического опыта, чтобы знать, каков правильный план действий при столкновении с абстрактной и новой проблемой, и они могут не знать, как тщательно проверить свою работу, чтобы убедиться в отсутствии серьезных упущений или ошибок. Многое в математике связано с латеральным мышлением, и для построения этих связей требуется много времени. Самая сложная часть кандидата наук по чистой математике (на мой взгляд) — научиться решать проблему, которую никто раньше не рассматривал. Стандартные методики, которыми пользовались другие, могут быть вам совершенно бесполезны по той или иной причине. У студента не будет творческого потенциала, чтобы разобраться в такого рода проблемах, потому что необходимый творческий потенциал приходит с большим опытом. Даже когда студент бакалавриата думает, что он что-то доказал, нюансы их аргументов, скорее всего, не будут им очевидны. (Это особенно верно, когда речь идет о функционально-аналитических/теоретико-мерных аргументах — дьявол кроется в деталях.) Таким образом, предлагаемое доказательство может быть даже близко не верным.
Наконец, не многие студенты, изучающие чистую математику, занимаются исследованиями, потому что разрыв, который им приходится преодолевать между курсовой работой и современной математикой, довольно существенен. Те, кто вносит вклад в чистую математику, очень, очень талантливы и имеют очень основательный опыт (фон, который соперничает со студентами магистратуры/аспирантов).
Студенты, изучающие чистую математику, не должны вносить вклад. Для них это не то, чем занимаются исследования. Знакомство студентов с исследованиями служит нескольким целям: оно знакомит их с более сложными темами и дает им представление о том, на что похожи исследования, чтобы они могли принять обоснованное решение о том, подходит ли им аспирантура. Таким образом, тезисы больше похожи на обзоры специализированной темы по математике. Здесь задействовано много независимого обучения, и в нем могут содержаться некоторые уникальные примеры, идеи и связи. Они могут не представлять «оригинальную» работу, но стендовые сессии предназначены для того, чтобы представить то, что они узнали, независимо от того, было ли это оригинальным. Так что да, это что-то вроде лекции. они студентыи далеко не знатоки своего дела.
Обратите внимание: я не говорю, что ни один студент никогда не дает новых результатов в чистой математике (есть некоторые старшеклассники , которые лучше, чем большинство докторов наук), но это не обычное явление и не ожидается и не считается нормой.
Ответы до сих пор содержат да и нет, поэтому позвольте мне добавить да и нет.
Студенты могут — и часто это делают — доказывать что-то новое, но вряд ли что-то важное. Консультант должен найти интересный вопрос, достаточно простой, чтобы послужить темой диссертации, но еще не освещенный в литературе. В отличие от докторской диссертации, бакалаврская или магистерская диссертация сильно ограничена во времени, поэтому в качестве консультанта вы должны предлагать тему только в том случае, если вы совершенно уверены, что неопытный исследователь может что-то сделать за короткое время. С другой стороны, просто повторять литературу скучно для студента. Один из способов найти хорошие темы — обратиться к тому, что часто называют фольклором: в каждом учебнике есть теорема о том, что из X следует Y, и каждый эксперт знает, что квази-X уже достаточно, но никто не удосужился написать ее. Это, скорее всего, не стоит публикации, но мотивирует доказательство теоремы, еще не вошедшей в литературу. Еще один простой метод — просмотреть все, что вы исключили из своих собственных документов. Если вы разработали пример, но не включили его в публикацию, вы можете позволить студенту обобщить его.
Чего вам не следует делать, так это спрашивать студента о проблеме, которая вас действительно интересует. Сначала студент будет разочарован, потому что задача слишком сложна для него, затем вы будете разочарованы, потому что вы потратите гораздо больше времени на объяснение ему вещей. затем вам нужно было бы найти результаты для себя, и, наконец, все разочарованы, потому что вы нашли ответ и должны объяснить его студенту.
Да, студенты часто доказывают что-то новое, в том смысле, что каждый год студенты получают новые результаты, которые можно опубликовать. Таким образом, хотя относительно небольшое количество студентов-математиков бакалавриата участвуют в настоящих «исследованиях», безусловно, есть студенты, способные делать нетривиальные открытия еще будучи студентами, и их больше, чем можно было подумать на первый взгляд. Я учился в престижных исследовательских школах и антипрестижных региональных университетах США. В каждой школе, где я учился, были студенты-математики со способностями к опубликованным исследованиям. Необходимый талант может быть не «обычным», но уж точно не «редким». Препятствия в первую очередь культурные, а не интеллектуальные.
Тема исследований бакалавриата также была предметом вопроса на MathOverflow , что делает ее полезной для чтения.
Вот пример из личного опыта: недавно я опубликовал рецензируемую статью в журнале, который я считаю высококачественным (и который ни в коем случае не является «студенческим»), в соавторстве со студентом бакалавриата, который обнаружил доказательство одной из основных теорем самостоятельно между двумя нашими исследовательскими встречами.
Другой пример — журнал Involve , посвященный настоящим студенческим исследованиям. Из их самоописания :
Привлекать демонстрирует и поощряет высококачественные математические исследования с участием студентов всех академических уровней. Редакционная коллегия состоит из ученых-математиков, стремящихся поощрять участие студентов в исследованиях.
Приветствуются заявки во всех математических областях. Все рукописи, принятые для публикации в Involve, считаются пригодными для публикации в качественных журналах в соответствующих областях и включают как минимум одну треть студенческого авторства. Заявки должны включать значительный вклад преподавателей; соавторство преподавателей настоятельно приветствуется. В большинстве случаев заявка (и сопроводительное письмо) должна исходить от преподавателя.
Involve, преодолевая разрыв между крайностями чисто студенческих исследовательских журналов и основных исследовательских журналов, предоставляет место для математиков, желающих поощрять творческое участие студентов.
Одна вещь, которой вряд ли будут обладать студенты, — это широта знаний , ожидаемая от получателей докторской степени. В частности, по математике аспиранты сдают экзамены по ряду предметов, и ожидается, что они освоили большую часть учебной программы бакалавриата. Исследования бакалавриата часто включают в себя достаточное количество знаний об одной конкретной области, чтобы доказать новые теоремы. Студенту все еще нужно потратить время на изучение других областей, чтобы получить знания, ожидаемые от доктора философии.
Настоящим ключом для студентов, которые хотят провести исследование, которое можно опубликовать, является сотрудничество с хорошим наставником факультета. Независимые исследования студентов действительно довольно редки (на самом деле, большинство статей по математике, опубликованных в настоящее время, имеют двух или более авторов — даже эксперты выигрывают от сотрудничества). В теме MathOverflow, указанной выше, есть больше советов от других математиков.
Я могу рассказать вам о своем опыте, так как сейчас я пишу диплом бакалавра (правда, в качестве летнего проекта).
Я учусь на бакалавриате по математике, в настоящее время прохожу летнюю стажировку «Введение в исследования». Я изучаю теорию вероятностей.
Будучи студентом первого курса, около половины своего времени я тратил на укрепление своего математического образования в области вероятностей, теории мер и анализа. Я также потратил довольно много времени на изучение специализированных статей и, наконец, применил изучаемую общую теорию к конкретной проблеме, где действительно доказал нечто «новое», очень внимательно следя за другими опубликованными результатами. По дороге я также доказал несколько лемм, не представляющих общего интереса, но «новых» и интересных для меня.
Ясно, что от студентов бакалавриата не ждут новаторских результатов, представляющих общий интерес. Однако они могут внести свой вклад в математику, обобщая и собирая связанные результаты из нескольких статей, применяя новые теории, находя примеры и т. д.
Совет.
Вы не должны стремиться к великим открытиям, а просто пытаться делать свою собственную математику. Задайте себе множество «глупых» вопросов и найдите на них ответы. Вот как вы получите несколько небольших новых результатов. Убедитесь, что вы можете понять общую картину своей области исследования, что вы смотрите на нее с критической точки зрения и что вы понимаете проблемы, которые ее мотивируют.
Часто ли студенты-математики доказывают что-то новое?
Да. Но не великие вещи, а иногда вещи, которые, возможно, уже известны специалистам (но не широко доступны). Я думаю, что для старшекурсника достаточно, чтобы доказать вещи, которые являются новыми для него/нее и ее одноклассников/консультанта/и т.д.
Некоторые из имплицитных посылок такого рода вопросов или имплицитные посылки в ответах на вопрос на самом деле являются проблемой. Я полностью согласен с тем, что старшекурсники всех «калибров» должны «быть в комнате», когда речь идет о чем-то, напоминающем «живую» математику. Но/и это становится наиболее значимым, когда мы смотрим на фальшь, искусственность и бесплодие типичной учебной программы бакалавриата: она фальшивая и умирающая, в ней нет места для того, чтобы кто-то вообще что-либо делал, и никаких намеков на реальность. Жутковато, да. Но это не сразу влечет за собой своего рода «противоположность», что новичкам нужно очень мало знать, чтобы внести значимый вклад. В течение нескольких сотен лет (тысяч?) грубая смекалка уже применялась довольно систематически. Люди научились полезным вещам, а не знать этого - значит не знать, как поменять шину, или лампочку, или фильтр печки, или открыть дверь. Не то, чтобы обычная учебная программа сильно помогала, я согласен! Но это не означает, что базовые операционные навыки (включающие в себя временами тонкую математику, в буквальном смысле здесь) не имеют значения. Выйти за пределы дегенеративной «школьной математики» — это прекрасно… но думать, что это означает «нам не нужно ничего знать!» очевидно глупо... даже если привлекательно. "Сложный".
Рафаэль
ДетлевCM
BCLC
BCLC
ДетлевCM
BCLC
ДетлевCM
Рафаэль