Чему равна «масса» точки Лагранжа?

Точки Лагранжа... могут вращаться вокруг астероидов, спутников и любого другого полезного или интересного объекта. Однако, предполагая движение двух тел...

Сначала краткое примечание; стабильность точки Лагранжа сама по себе не является предиктором устойчивости связанной с ней («вокруг») орбиты.

• Действительно ли некоторые гало-орбиты стабильны? (устойчивые орбиты вокруг неустойчивых точек Лагранжа)

Я уверен, что ОП знает, что в точке Лагранжа нет реальной массы, к которой объекты гравитационно притягиваются, но интересно задаться вопросом, можно ли получить что-то вроде «эффективной массы».

Мы должны постоянно напоминать себе, что орбиты, связанные с точками Лагранжа, на самом деле являются орбитами вокруг первичного тела, которые просто находятся в резонансе 1:1 с вторичным телом.

Смотрите также этот ответ

Я думаю, что проще всего говорить о гало-орбитах, связанных с (вокруг) Солнце-Земля L1, но это применимо к любой точке Лагранжа в круговой ограниченной системе из трех тел.

На расстоянии 1,5 миллиона км от Земли SE L1 находится на 1% ближе к Солнцу, чем Земля, поэтому обычно он должен иметь период на 1,5% короче и вращаться вокруг Солнца на 0,5% быстрее. Но будучи в 99 раз ближе к Земле, чем Солнце, он находится под влиянием земного притяжения.

Этого как раз достаточно, чтобы зафиксировать объект на резонансной орбите 1:1; объект движется по волнистой орбите вокруг Солнца с тем же периодом, что и Земля, иногда немного ускоряясь, а затем отталкиваясь от него.

Только когда мы смотрим в синодическую систему отсчета , вращающуюся систему отсчета, в которой Солнце и Земля кажутся неподвижными, кажется, что объект вращается вокруг точки Лагранжа. Это своего рода оптическая иллюзия; это действительно не так.

Ответ(ы) на Какие элементы орбиты используются для описания гало-орбит? объясните, что на самом деле нет правильных орбитальных элементов вокруг точек Лагранжа, потому что это действительно неправильные орбиты с самого начала.

Это танцы втроем.

Вот анимация орбиты JWST. Речь идет о L2, а не о L4 или L5, и это не в масштабе, но, по крайней мере, это помогает проиллюстрировать, что орбиты, связанные с точками Лагранжа, относятся к основному телу, и при просмотре в инерциальной системе отсчета определенно не «вокруг» точки Лагранжа.

Уменьшите громкость (или выключите) перед воспроизведением:

Фрагмент из полной версии запуска и развертывания космического телескопа Джеймса Уэбба.

Когда мы рассматриваем массу, вокруг которой вращается что-то, мы предполагаем гравитационный потенциал, соответствующий обратноквадратической силе , которая соответствует либо точечной массе, либо, по теореме Ньютона об оболочечной массе , сферически-симметричной массе. Именно в этой ситуации любая орбитальная динамика двух тел может быть сведена к законам Кеплера с периодами, зависящими от большой полуоси.

В любом другом потенциале динамика будет другой. Эффективный гравитационный потенциал вблизи точек Лагранжа лучше описывается разложением Тейлора как полином , который сильно отличается от обратно-квадратичного с его наклоном -∞ в нуле. Так что нет смысла приписывать этому потенциалу «массу».

Запрашивая «эффективную массу$M$" точки Лагранжа $P$бессмысленно, все же имеет смысл спросить об эффективном поле (известном как мало-$g$) в окрестностях г.$P$. Это (минус) градиент (суммы) гравитационного и центробежного потенциалов, ср. Рисунок 1.

$\uparrow$Рис. 1: Двумерная плоскость орбиты с эквипотенциальными линиями и пятью точками Лагранжа. (Из Википедии .)

Эффективное поле обращается в нуль по определению при$P$. ($\leftarrow$Предыдущее предложение, по сути, объясняет, почему не следует запрашивать «эффективную массу».$M$" из$P$.)

Ограничение для простоты движением в двумерной орбитальной плоскости, пробная масса$m$(без движения) будет дрейфовать не в направлении поля, а перпендикулярно ему (вдоль эквипотенциальных линий) из-за силы Кориолиса . На дрейф часто накладывается круговое движение с угловой скоростью$-2\Omega$, ср. Рис. 2.

$\uparrow$Рис. 2: Возможная подковообразная орбита вдоль эквипотенциальных линий.$\star$это Солнце, в то время как$\bullet$это Юпитер.

В более общем случае, если$m$находится вдали от двумерной орбитальной плоскости, мы должны наложить колебательное движение перпендикулярно плоскости.

Вывод, явные формулы и дополнительную информацию см., например, в части III моего ответа Phys.SE здесь .