Зависит ли траектория объекта, вращающегося вокруг планеты, от массы объекта? (На гипотетическом примере Аполлона)

Примерно, да. Общее гравитационное воздействие на траектории космического корабля и другого объекта будет одинаковым.

Сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс; к$F = m a$, ускорение каждого объекта компенсирует его собственную массу ($a = \frac {F} {m}$) и, таким образом, зависит от массы другого объекта.

Однако, поскольку болт находится в немного другом месте относительно Земли и Луны во время полета, влияние гравитации на него будет очень немного отличаться по величине и направлению, поэтому он не будет следовать точно параллельной траектории. Однако это будет очень близко, и на практике я полагаю, что разница в гравитационном влиянии будет крошечной по сравнению с трудностью выпуска объекта с точно нулевой начальной скоростью относительно космического корабля. Также будут другие смешанные факторы: солнечное давление на два тела столкнет их с курса в разной степени, космический корабль будет выбрасывать различные вещи, которые будут толкать его, и т. д.

Ускорение под действием силы тяжести будет одинаковым независимо от массы, если предположить, что масса вашего космического корабля пренебрежимо мала по сравнению с массой объекта, вокруг которого вы вращаетесь. Например, луна Земли достаточно велика, чтобы влиять на движение Земли, поэтому она не вращается вокруг центра Земли, а вместо этого вращается вокруг общего центра масс Земли и Луны (барицентр ) . Строго это верно для любого тела, движущегося по орбите, но для небольших объектов реалистично предположить, что барицентр - это центр Земли.

Однако гравитация — не единственная сила, действующая на космический корабль, хотя она будет наибольшей до входа в атмосферу Земли. Сопротивление верхних слоев атмосферы Земли, вероятно, будет заметно ниже высоты 2000 км и будет ускорять два объекта с разной скоростью, заставляя их расходиться. Кроме того, давление солнечного излучения будет ускорять их с разной скоростью, но эта сила настолько мала, что для того, чтобы ее заметить, потребуется больше времени, чем один виток.

Таким образом, два объекта будут оставаться примерно на одном и том же расстоянии до тех пор, пока эффекты сопротивления в верхних слоях атмосферы не станут измеримыми.

Что не упоминается в других ответах, так это то, что масса вашего орбитального объекта фактически уравновешивается. Неважно. См. эти два уравнения:

(1)$F_1 = F_2 = G m_1 m_2 / r^2$

(2)$F_1 = m_1 a_1$

Где F — сила, G — универсальная гравитационная постоянная, m — масса, r — расстояние между центрами масс рассматриваемого орбитального и орбитального тел. 1 и 2 представляют рассматриваемый объект, например$m_1$- масса объекта 1 и$F_1$сила, действующая на объект 1.

Таким образом,

$a_1 = G m_2 / r^2$

т. е. масса объекта на орбите никак не влияет на его ускорение.

редактировать: добавлен индекс 1 в файл .

Это поздний ответ; тесно связанный вопрос был недавно закрыт как дубликат этого.

Зависит ли траектория объекта, вращающегося вокруг планеты, от массы объекта?

Да, это так.

Некоторые из ответов правильно ссылаются на принцип универсальности свободного падения, который диктует, что ускорение с точки зрения инерциальной системы отсчета объекта по отношению к Земле не зависит от массы объекта. Что упускают из виду эти ответы, так это то, что универсальность свободного падения также диктует, что Земля должна ускоряться по направлению к объекту, находящемуся на орбите, и это ускорение прямо пропорционально массе объекта.

Это означает, что период обращения объекта, обращающегося вокруг Земли, равен

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}$$ где$a$- длина большой полуоси орбиты,$G$- ньютоновская гравитационная постоянная,$M$масса Земли, а$m$- масса объекта на орбите. Это ньютоновская версия третьего закона Кеплера.

В теоретической вселенной, в которой наша Луна была заменена объектом размером с Землю, вращающимся на расстоянии 385 000 км, этот объект размером с Землю и Земля вращались бы друг вокруг друга за 19,3 дня вместо 27,3 дня, продолжительность звездного месяца. В еще одной теоретической вселенной, в которой наша Луна была заменена крошечным камнем, вращающимся на высоте 385 000 км, этот крошечный камень будет вращаться вокруг Земли за 27,5 дня вместо 27,3 дня.

Это поздний ответ; тесно связанный вопрос был недавно закрыт как дубликат этого.

Влияет ли масса вращающегося тела на орбитальную скорость?

tl;dr: Да, это всегда так, примерно вдвое меньше. Если она маленькая, например, одна миллионная массы первичного элемента, изменение скорости составит, например, половину одной миллионной. В крайнем случае, когда две массы равны, хотя тренд нарушается, и скорость теперь составляет 70,7% ($\sqrt{1/2}$), а не половину.

Если вы уберете Луну и поместите туда небольшой камень, он будет вращаться на 0,6% быстрее, чем Луна. Юпитер составляет около 1/1000 Солнца или 0,1% массы. Если убрать Юпитер и поместить туда маленькую планету, она будет вращаться на 0,05% быстрее, чем Юпитер!

---

Проблема двух тел из Википедии и круговая орбита полезны, но я обнаружил, что страница 15 cnx.org. Система двух тел - круговое движение имеет особенно прямое решение круговой задачи двух тел.

Лицензия Commons Attribution 4.0.

Использовать

$$r = r_1 + r_2$$

$$m_1 r_1 = m_2 r_2$$

$$\frac{v_1}{r_1} = \frac{v_2}{r_2}$$

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \ \ \text{ orbital angular speed}$$

$$M = m_1 + m_2$$

$$m_2 = M\frac{r_1}{r_1 + r_2}$$

...потом немного математики и физики...

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} = sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}$$

Орбитальная скорость каждого тела будет просто угловой скоростью$omega$умножить на радиус каждого тела:

$$v_1 = \omega r_1$$

$$v_2 = \omega r_2$$

$$r2 = r \frac{m_1}{M}$$

$$v_2 = \omega r_2 = \omega r \frac{m_1}{M} = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}} r \frac{m_1}{M}$$

Можно показать, что если$m_1$(т.е. масса Земли) постоянна, и расстояние между двумя$r$постоянна, то изменение скорости в два раза меньше, чем отношение масс, пока оно все еще довольно мало.

Например, если масса маленького объекта составляет одну миллионную массы большого объекта, то изменение скорости (по сравнению с безмассовым маленьким объектом) составляет половину одной миллионной .

Для Луны мы сказали$m_2 = m_1 / 81$, затем

$v_2$= 0,9939$r_2$= 0,9878$\omega$= 1,0062 и$\omega r_2$= 0,9939

Луна, имеющая 1,23% массы Земли, будет двигаться на 0,61% медленнее, чем крошечный спутник.

Эта тенденция «половина разницы» нарушается, когда две массы становятся ближе к равным.

Если бы второй объект был такой же массы, как Земля, эта тенденция говорит, что скорость была бы вдвое меньше, чем у крошечного спутника, но оказывается, что скорость$\sqrt{1/2}$или 70,7%, а не 50%.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m1 = 1.0

m2 = np.logspace(-10, 0, 101)

M = m1 + m2

r = 1.0
G = 1

omega = np.sqrt(G * M / r**3)
r2  = r * m1 / M
v2 = omega * r2

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(m2, v2)
plt.xscale('log')
plt.ylim(None, 1.02)
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(m2, 1 - v2)
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('m2 with m1 = 1')
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.suptitle('G = r = m1 = 1')
plt.show()