Дивергенция поля и ее интерпретация

Это станет намного яснее, если вы рассмотрите интегральные формы уравнений Максвелла. Начнем с закона Гаусса.

$$\begin{equation} \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}$$ Если мы проинтегрируем это по некоторому объему $V$и применив теорему Гаусса о расходимости , мы находим, что левая часть дает $$\begin{align} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\nabla\cdot\vec{E}= \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E}\end{align}$$ куда $\partial V$является границей $V$. В то время как правая сторона дает $$\begin{equation} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\frac{\rho}{\epsilon_0}= \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation}$$ Где $Q$это общий заряд, заключенный в $V$. Сочетание двух дает $$\begin{equation}\int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E} = \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation}$$ Другими словами, электрический поток, входящий в любую замкнутую область, равен заряду, содержащемуся в этой области, т. е. силовые линии электрического поля начинаются и останавливаются только на зарядах.

И наоборот, мы можем применить это уравнение к произвольному объему,$V$. В частности, мы можем выбрать настолько малый объем, что$\nabla\cdot\vec{E}$и$\rho$приблизительно постоянны, поэтому мы можем восстановить дифференциальную форму закона Гаусса.

Теперь давайте посмотрим, как выглядят эти уравнения для точечного заряда,$q$, в начале. Для любого объема$V$который не включает происхождение,$Q = 0$, поэтому, взяв$V$маленький, мы находим, что$\nabla\cdot\vec{E} = 0$. Однако если мы рассмотрим том, который включает в себя начало координат, то$Q = q$и интеграл от$\nabla\cdot\vec{E}$не равно нулю. Если мы допустим объем$V\rightarrow 0$мы находим, что$Q$остается постоянным, пока источник все еще содержится, поэтому

$$\begin{equation}\frac{Q}{V}\rightarrow\rho\rightarrow \infty\end{equation}$$ Так $\rho$должны расходиться для точечного заряда! Более того, это поведение, когда значение интеграла определяется значением подынтегральной функции в точке, является определением дельты Дирака. Если вы находите это неудовлетворительным, вы можете вернуться к вопросу о том, действительно ли существуют точечные заряды, но это скорее эмпирический, а не теоретический вопрос. (в настоящее время у нас мало оснований думать, что фундаментальные частицы не точечны.)

Аналогичный анализ можно провести с магнитными полями, где мы находим, что

$$\begin{equation} \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{B} = 0\end{equation}$$ для любого объема $V$

I) Верно, дифференциальная форма закона Гаусса

$$\tag{1} {\bf\nabla} \cdot{\bf E}~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

использует относительно продвинутую математическую концепцию дельта-распределения Дирака в случае точечных зарядов.

$$\tag{2} \rho({\bf r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i).$$

Обратите внимание, в частности, что технически неправильно утверждать (как, кажется, делает OP), что дельта-распределение Дирака$\delta^3({\bf r})$это просто функция $f:\mathbb{R}^3\to [0,\infty]$который принимает нулевое значение везде, кроме начала координат, где значение равно бесконечности:

$$\tag{3} f({\bf r})~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} \infty& {\rm for}& {\bf r}={\bf 0}, \cr 0& {\rm for}& {\bf r}\neq {\bf 0}.\end{array}\right.$$

Для начала, для произвольной тестовой функции $g:\mathbb{R}^3\to [0,\infty[$, интеграл Лебега$^1$

$$\tag{4} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~f({\bf r})g({\bf r}) ~=~0$$

обращается в нуль, в отличие от определяющего свойства дельта-распределения Дирака

$$\tag{5} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~\delta^3({\bf r})g({\bf r}) ~=~g({\bf 0}).$$

Дельта-распределение Дирака$\delta^3({\bf r})$не является функцией. Вместо этого это обобщенная функция . Можно дать математически непротиворечивую трактовку дельта-распределения Дирака. Однако следует подчеркнуть, что анализ не сводится к расследованию двух отдельных дел.${\bf r}= {\bf 0}$и${\bf r}\neq {\bf 0}$, но вместо этого (обычно) включает (размазанные) тестовые функции. Чтобы получить представление о различных сложностях, которые могут возникнуть с дистрибутивами, читателю может быть интересна эта статья Phys.SE.

II) Чтобы избежать понятия распределений , более безопасно (и, вероятно, более интуитивно) работать с эквивалентной интегральной формой закона Гаусса.

$$\tag{6} \Phi_{\bf E}~=~ \frac{Q_e}{\varepsilon_0}.$$

Соответствующий закон Гаусса для магнетизма

$$\tag{7} \Phi_{\bf{B}}~=~ 0$$

выражает (без применения двойных стандартов) факт отсутствия магнитного заряда$Q_m$.

--

$^1$уравнение (4) в решающей степени зависит от того факта, что в теории интегрирования неотрицательных функций умножение определяется$\cdot: [0,\infty]\times[0,\infty]\to[0,\infty]$на расширенной реальной полулинии$[0,\infty]$так что$0\cdot\infty:=0$. уравнение (4) в основном вызвано тем, что$f$почти везде равен нулю . Также следует упомянуть известный факт, что теория интегрирования может быть надлежащим образом обобщена с неотрицательных функций на комплекснозначные функции.

Состояние уравнений Максвелла

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

Если мы примем уравнения Максвелла как истинные, то источника/стока магнитного поля не будет, поскольку дивергенция магнитного поля равна нулю, несмотря ни на что . Но как бы вы ни относились к дельте Дирака, там, где есть заряд, есть ненулевая дивергенция электрического поля. И, наоборот, где ненулевая дивергенция, там и заряд.

Теперь не дельта Дирака «нереалистична» (это совершенно четко определенное распределение), а концепция «точечного заряда». Каждая известная нам заряженная вещь имеет этот заряд, распределенный по какой-то небольшой области пространства, и дельта Дирака — это способ смоделировать, что эта область настолько мала, что нас не волнует, что она не точечная. И если бы действительно существовал точечный заряд, дельта Дирака точно описывала бы плотность его заряда, потому что объем точки явно равен нулю, а любой заряд, который вещь делит на ноль, бесконечен. (Не принимайте это как строгое утверждение, это настолько нелепо, насколько это возможно)

Более серьезная вещь, которую следует здесь усвоить, заключается в том, что плотности являются распределениями — они не имеют смысла, если не интегрированы, а если мы проинтегрируем точечный заряд с$\rho(r) = q \delta(r)$, получаем совершенно конечный заряд$q$. Нет ничего плохого в дельта Дирака как зарядовой (или другой) плотности.

Вы пишете: «В случае магнитного поля нам еще предстоит наблюдать его источник или сток».

Если вы имеете в виду «нам еще предстоит наблюдать источник или сток», вы правы.

Однако рассмотрим магнитное векторное поле (игнорируя единицы/говоря качественно):

$$\vec{B}=(0, \frac{z}{(1+r^2)^2},\frac{y}{(1 + r^2)^2})$$

Это действительное поле, потому что это ротор векторного потенциала.$(\frac{1}{1+r^2},0,0)$.

Это действительное мгновенное магнитное поле. Вы можете использовать уравнения Максвелла, чтобы найти плотность тока или изменение электрического поля, но это не имеет значения. Дело в том:

1. Нет источника или стока$\vec{B}$,
2. С$\vec{B}$стремится к нулю на бесконечности, ни один источник или сток не были «отброшены в бесконечность».
3. Энергия, запасенная в поле, конечна.

Это действительно конечное магнитное поле без источника или стока. Дело не в наблюдении его источника или стока. Там нет источника или стока для наблюдения!

Я использовал термин «источник или приемник» для обозначения$\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$. Но вы также можете использовать термин «источник» для обозначения «причины», и в этом случае «источник» не является синонимом слова «источник».$\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$. Вы можете посмотреть на окружной закон Ампера и сказать, что$\vec{B}$поле вызвано током или изменяющимся электрическим полем. Так что это не так, как будто$\nabla \cdot \vec{B}=0$подразумевает, что B-поле не имеет «источника» в общем смысле этого слова.

Если$\vec{B}$представляет собой поле скоростей жидкости, заполняющей пространство, то нулевое расхождение означает, что вода никуда не впрыскивается/не удаляется. Но$\vec{B}$не представляет поле скоростей жидкости, заполняющей пространство.