Заряд поверхностной плотности, расходимость электрического поля и закон Гаусса

Известно, что дивергенция электрического поля в определенной точке дается следующей формулой:

$$\nabla \cdot E=\dfrac{\rho (r)}{\epsilon_{0}}$$

Существование$\rho (r)$объемная плотность заряда в этой точке.

В соответствии с этим, что, если есть нулевая плотность объемного заряда, но ненулевая поверхностная плотность заряда? Будет ли в этой точке электрическое поле иметь нулевую дивергенцию?

В таком случае, как этот факт согласуется с законом Гаусса?

Закон Гаусса напрямую связан с теоремой о расходимости:

$$∭_{V}(∇⋅E) dV=∬_{S}E\cdot dS$$

Если бы у нас было распределение поверхностного заряда внутри любой замкнутой поверхности, первый член был бы равен нулю, потому что расходимость любого электрического поля, создаваемого любым распределением поверхностного заряда, была бы равна нулю. Следовательно, поверхностный интеграл также был бы равен нулю, и согласно закону Гаусса:

$$∬_{S}E\cdot dS=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_{0}}$$

Внутри замкнутого поверхностью объема суммарного заряда не будет, что, очевидно, неверно. Я подозреваю, что это несоответствие связано с тем фактом, что для доказательства закона Гаусса, когда мы заключаем, что:

$$\nabla \cdot E=\dfrac{q}{\epsilon_{0}}\delta(r)$$

Существование$\delta(r)$трехмерная дельта Дирака с$r=0$в месте, где заряд$q$расположен.

Мы подставляем$q$к$\rho (r)dV$, И пока$dV$является бесконечно малым третьего порядка, мы получаем дивергенцию общего выражения электрического поля, но если мы делаем ту же замену в случайной поверхности или линейном распределении заряда, то полученное выражение имеет дельту Дирака.

Это наводит меня на мысль, что выражение дивергенции электрического поля, которое я выучил, является неполным, и оно справедливо только для распределений объемного заряда.