Эквивалентно ли вывести закон Гаусса из дискретных и непрерывных исходных распределений?

Для большинства расчетов обе формы эквивалентны. На самом деле, я бы сказал, что вы можете безопасно использовать идентификацию

$$\tag{1} \int d^3 x \rho(\textbf x) \sim \sum_i q_i,$$ во всех тех случаях, когда имеет смысл говорить о локализованных зарядах (правда, за некоторыми исключениями, см. последний абзац). Конечно, вы можете математически обосновать эту идентификацию, используя дельта-функции Дирака , что дает вам (1) определение плотности заряда $\rho(\textbf x)$как $$\tag{2} \rho(\textbf x) = \sum_i q_i \delta^3(\textbf x - \textbf x_i),$$ и учитывая, что $$\tag{3} \int d^3x \rho(\textbf x) f(\textbf x) = \sum_i q_i \int d^3 x \delta^3(\textbf x - \textbf x_i) f(\textbf x) = \sum_i q_i f(\textbf x_i).$$

Использование того или иного приближения зависит не столько от природы анализируемого заряда, сколько от экспериментальной установки, используемой для его исследования/исследования (или, что то же самое, от того, какие свойства заряда нас интересуют).

---

Теперь о ситуации, в которой два подхода дают очень разные результаты: рассмотрим массив$N$обвинения$q_1,...,q_N$расположены в точках$\textbf x_1,...,\textbf x_N$. Полная потенциальная энергия этой системы:

$$\tag{4} W = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \sum_{i \neq j} \frac{q_i q_j}{|\textbf x_i - \textbf x_j|}, \qquad i,j=1,...,N$$ где важно обратить внимание $i\neq j$в сумме, что связано с тем, что мы не хотим рассматривать энергию, поступающую от взаимодействия точечного заряда с самим собой . Учесть такое было бы очень проблематично: у вас было бы расстояние $|\textbf x_i - \textbf x_i|=0$и заведомо бесконечная энергия.

Но как насчет непрерывной версии (4) ? В этом случае потенциальная энергия принимает вид

$$\tag{5}W = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \int \int d^3 x d^3 x' \frac{\rho(\textbf x) \rho(\textbf x')}{| \textbf x - \textbf x'|}.$$ Но теперь у нас есть два интеграла, как мы можем реализовать условие, подобное $i \neq j$выше? Мы не можем, и на самом деле это последнее выражение дает результаты, отличные от (4) : оно включает члены самовоздействия , т.е. оно включает потенциальную энергию, возникающую при взаимодействии зарядов друг с другом.

Чтобы понять это, рассмотрим, например, простую ситуацию с двумя зарядами$q_1$и$q_2$в точках$\textbf x_1$и$\textbf x_2$. Используя (4), вы получаете

$$\tag{6} W = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{| \textbf x_1 - \textbf x_2| },$$ чего вы наивно ожидали. Используя вместо этого (5) с плотностью заряда $$\tag{7} \rho(\textbf x) = q_1 \delta^3(\textbf x - \textbf x_1) + q_2 \delta^3(\textbf x - \textbf x_2)$$ дает: $$\tag{8} W = W_{11} + W_{22} + W_{12},$$ где $W_{12}$– член взаимодействия (6) , а $W_{11}$и $W_{22}$являются самодействиями соответственно первого и второго заряда, которые имеют выражения: $$\tag{9} W_{11} = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int d^3 x \frac{q_1^2}{|\textbf x - \textbf x_1|} \delta^3(\textbf x - \textbf x_1),$$ $$\tag{10} W_{22} = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int d^3 x \frac{q_2^2}{|\textbf x - \textbf x_2|} \delta^3(\textbf x - \textbf x_2).$$ Эти два дополнительных члена не только не исчезают, они бесконечны . На самом деле, легко увидеть, что даже потенциальная энергия одиночного точечного заряда бесконечна, если вычислить ее с помощью (5). Так что же нам делать со всеми этими явно неправильными (не так ли?) бесконечностями? Должны ли мы отбросить всю теорию как ошибочную? Очевидно, что нет: чтобы увидеть, что эти бесконечности на самом деле не проблема, нам просто нужно вспомнить, для чего нужна потенциальная энергия: она дает нам количество требуемой/высвобождаемой работы при переходе из одного состояния в другое. Учитывая, что мы не можем разрушить точечный заряд (по самому нашему определению), эти бесконечные собственные энергии никогда не будут обменены с другими системами. Это просто (очень большие) постоянные члены, добавляемые к энергии взаимодействия, а, как мы знаем, добавление константы к потенциальной энергии ничего не меняет в физике.