Что именно измеряет угловой акселерометр и как можно получить SO(3) вращение из этих измерений?

Question

Что именно измеряет угловой акселерометр и как можно получить SO(3) вращение из этих измерений?

Дэмиен

тл;др

Если у вас есть угловой акселерометр, какое движение он на самом деле измеряет?

Если у нас есть идеальный (т. е. бесшумный, безошибочный, идеально выровненный...) 3-осевой угловой акселерометр при соответствующих начальных условиях, как можно получить вращение SO(3) из (двойного) интегрирования сказал измерения?

Предыстория и детали

Если открыть практически любой учебник по инерциальной навигации , то датчик угловой скорости будет описан как измерительный. ${\omega}_{ib}^{b}$ - то есть угловая скорость тела относительно инерциальной системы отсчета, разрешенная в осях системы отсчета тела.

Можно получить матрицу вращения SO(3) из указанных измерений гироскопа, используя известное дифференциальное уравнение:

$\mathbf{\dot{R} }_b^i = \mathbf{R}_b^i [{\omega}_{ib}^{b}]_\times$

где $\mathbf{R}_b^i$ есть вращение от системы отсчета тела до инерциальной системы отсчета и $[{\omega}_{ib}^{b}]_\times$ — кососимметричная матрица, построенная по измерениям гироскопа. Дифференциальное уравнение имеет хорошо известное решение для постоянной угловой скорости на интервале дискретизации:

$\mathbf{R}_{b(k+1)}^i = \mathbf{R}_{b(k)}^i \operatorname{expm}(\Delta t [{\omega}_{ib}^{b}]_\times)$

Используя аналогичные обозначения, какова будет величина, которую измеряет угловой акселерометр (например, устройство )? Как такие измерения связаны с измерениями угловой скорости? Как можно решить это (предположительно) дифференциальное уравнение, чтобы получить угловую скорость и матрицу вращения?

Обратите внимание, что это не предназначено для обсуждения практичности такого решения - проблемы хорошо известны (например, см. стр. 38 Лоуренса ) .

(Примечание для модераторов: угловое ускорение было бы идеальным тегом для вопроса, но, к сожалению, такого тега не существует)

Селена Рутли

Судя по вашему последнему предложению, это не технологический вопрос. Вы не можете заставить производителя ответить на этот вопрос? Если выход датчика

\dot{ω}

$\dot{\omega}$ , то вы просто собираетесь интегрировать это с соответствующими мерами по минимизации шума и начальным значением для

ω

$\omega$ получить

ω (t)

$\omega(t)$ . Затем вы либо собираетесь использовать дискретизированное произведение экспонент, которое вы цитируете, либо теорему Россмана 1.5 для интегрирования

ω (t)

$\omega(t)$ к

α (t)

$\alpha(t)$ , где вращение

\exp (α (t))

$\exp(\alpha(t))$ как описано в моем ответе здесь: physics.stackexchange.com/a/288904/26076

Ответы (1)

Что именно измеряет угловой акселерометр и как можно получить SO(3) вращение из этих измерений?

Судя по вашему последнему предложению, это не технологический вопрос. Вы не можете заставить производителя ответить на этот вопрос? Если выход датчика $\dot{\omega}$ , то вы просто собираетесь интегрировать это с соответствующими мерами по минимизации шума и начальным значением для $\omega$ получить $\omega(t)$ . Затем вы либо собираетесь использовать дискретизированное произведение экспонент, которое вы цитируете, либо теорему Россмана 1.5 для интегрирования $\omega(t)$ к $\alpha(t)$ , где вращение $\exp(\alpha(t))$ как описано в моем ответе здесь: physics.stackexchange.com/a/288904/26076

Селена Рутли · Answer 1

Что такое сенсорное восприятие?

После некоторых размышлений вот предположение о том, что происходит.

Наиболее очевидный способ измерения углового ускорения аналогичен линейному ускорению с помощью многих акселерометров — за счет напряжений, вызываемых изменением состояния движения на тестовой массе / инерции — и вполне вероятно, что по крайней мере некоторые угловые акселерометры работают. Сюда.

Однако напряжения не всегда пропорциональны угловому ускорению, в отличие от линейного акселерометра, в котором напряжения пробной массы прямо пропорциональны линейному ускорению. Однако мы можем при правильной симметрии датчика сделать угловое ускорение пропорциональным напряжению.

Я набросал понятие такого устройства выше. Испытательная инерция представляет собой тяжелую втулку, насаженную на вал, и изменение состояния движения втулки требует передачи крутящего момента от внутреннего вала. Вы можете построить датчик, чувствительный к компоненту крутящего момента вдоль оси вала, например, датчики напряжения на торцах шпонки/шпоночного паза, которые предотвращают относительное движение между втулкой и валом.

Поскольку ось компонента изменяется, нам необходимо учитывать вращающуюся систему отсчета, например, с помощью уравнений Эйлера. Мы бы расположили ось на приведенном выше эскизе вдоль одной из главных осей инерции втулки (как и на эскизе). С $I$ тензор инерции, чистый крутящий момент на втулке равен:

\begin{matrix} (1) & т "=" я \dot{ю} + ю \times (я ю) \end{matrix}

$\tau = I\,\dot{\omega} + \omega\times (I\,\omega)\tag{1}$

так что составляющая крутящего момента вдоль воспринимаемой оси:

\begin{matrix} (2) & т_{г} "=" я_{г г} \dot{ю_{г}} + (я_{у у} - я_{Икс Икс}) ю_{Икс} ю_{г} \end{matrix}

$\tau_z = I_{zz}\,\dot{\omega_z} + (I_{yy}-I_{xx})\,\omega_x\,\omega_z\tag{2}$

что является причиной моего комментария о том, что напряжения не всегда пропорциональны угловому ускорению. Однако если тестовую втулку расположить осесимметричной относительно чувствительной оси (как на эскизе), то $I_{yy}=I_{xx}$ и поэтому (2) превращается в удобное уравнение:

т_{г} "=" я_{г г} \dot{ю_{г}}

$\tau_z = I_{zz}\,\dot{\omega_z}$

так что выходной сигнал датчика действительно пропорционален компоненту скорости изменения $\omega$ в улавливаемом направлении.

Но, конечно, воспринимаемая ось меняет направление, поэтому нам нужно преобразовать приведенное выше в неинерционные координаты перед интегрированием в матрицу вращения.

Интеграция с матрицей вращения

Продолжение следует (когда я разберусь со своей путаницей в соответствующих преобразованиях кадра)

Что именно измеряет угловой акселерометр и как можно получить SO(3) вращение из этих измерений?

Дэмиен

Селена Рутли

Ответы (1)

Селена Рутли

Каков процент рекуперации энергии в системах рекуперации кинетической энергии (KERS) в автомобилях?

Почему при равномерном круговом движении нормальное ускорение не увеличивает величину скорости?

Почему шарик для пинг-понга меняет направление, когда я вращаю его на столе?

Это кинематический парадокс?

Является ли вращение абсолютным? [дубликат]

Почему кинетическая энергия является неподвижной точкой преобразования Лежандра?

Движения поршня в четырехтактном цикле?

Как мне перейти на релятивистскую вращающуюся систему отсчета?

Двойной составной маятник: зачем использовать инерцию относительно центра масс для нижнего маятника?

Проблема кругового движения? [закрыто]