Почему при равномерном круговом движении нормальное ускорение не увеличивает величину скорости?

Question

Почему при равномерном круговом движении нормальное ускорение не увеличивает величину скорости?

шивамы

Этот очень простой вопрос задал ученик старшей школы в классе.

Рассмотрим частицу, совершающую равномерное круговое движение ( равномерность означает, что скорость постоянна). Мы знаем, что в каждой точке движения есть центростремительное ускорение, которое меняет направление скорости.

Теперь рассмотрим бесконечно малый период времени dt для этого движения в некоторый данный момент. Предположим, что начальная скорость равна $v_1\vec{i}$ в направлении Х. Тогда к ускорению будет добавлена составляющая $a.dt\vec{j}$ к этой скорости. Добавление этих двух величин должно дать нам окончательную скорость $\vec{v_2}$ . Смотрите эту схему:

Теперь из этого рассуждения ясно, что $|\vec{v_2}| > v_1$ . Значит, величина скорости должна увеличиваться!!

Теперь я знаю, что это НЕПРАВИЛЬНО. Я просто не знаю, где вина. Ясно, что здесь есть ошибка в математическом моделировании.

Я думаю, что должна быть какая-то ошибка в моделировании причинно-следственной связи. Ускорение НЕ ВЫЗЫВАЕТ изменение скорости. Это СЛЕДСТВИЕ изменения скорости. Это один из возможных ответов. Но я хотел бы, чтобы вы пролили больше света на эту загадку. Как объяснить это старшекласснику?

Стивен

d t

$dt$ пренебрежимо мал. Вот такая разница в скорости. Он просто исчезает, если вы сжимаетесь

d t

$dt$ стать очень, очень маленьким.

Селена Рутли

Или, говоря по-другому, комментарий @Steeven.

v_{2}

$v_2$ больше, чем

v_{1}

$v_1$ . Но сумма, на которую он больше, варьируется, как

δ t^{2}

$\delta t^2$ , так что при делении разницы на

δ t

$\delta t$ , изменение средней скорости изменяется как

δ t

$\delta t$ . Поэтому он исчезает в пределе. Как объяснить это старшекласснику? Как и выше. Поначалу это выглядит очень странно, поэтому попросите их внимательно посмотреть на определение предела, а не просто руководствоваться диаграммным чутьем. Комментарий: вот как это работает, когда мы определяем производную так, как мы это делаем - просто к этому нужно привыкнуть...

Селена Рутли

... в развитии интуиции для дифференциального исчисления. +1 за вопрос, который часто возникает у подростков, изучающих исчисление - каждый учитель должен быть готов к этому и иметь собственное понимание для этого.

Пиркс

Альтернативой правильному объяснению исчисления было бы простое представление вектора скорости в полярной системе координат, и в этом случае результат становится очевидным без исчисления.

Ответы (2)

Почему при равномерном круговом движении нормальное ускорение не увеличивает величину скорости?

$dt$ пренебрежимо мал. Вот такая разница в скорости. Он просто исчезает, если вы сжимаетесь $dt$ стать очень, очень маленьким.
Или, говоря по-другому, комментарий @Steeven. $v_2$ больше, чем $v_1$ . Но сумма, на которую он больше, варьируется, как $\delta t^2$ , так что при делении разницы на $\delta t$ , изменение средней скорости изменяется как $\delta t$ . Поэтому он исчезает в пределе. Как объяснить это старшекласснику? Как и выше. Поначалу это выглядит очень странно, поэтому попросите их внимательно посмотреть на определение предела, а не просто руководствоваться диаграммным чутьем. Комментарий: вот как это работает, когда мы определяем производную так, как мы это делаем - просто к этому нужно привыкнуть...
... в развитии интуиции для дифференциального исчисления. +1 за вопрос, который часто возникает у подростков, изучающих исчисление - каждый учитель должен быть готов к этому и иметь собственное понимание для этого.
Альтернативой правильному объяснению исчисления было бы простое представление вектора скорости в полярной системе координат, и в этом случае результат становится очевидным без исчисления.

пользователь1583209 · Answer 1

По истечении времени $dt$ , частица пройдет расстояние $v_1 dt$ поэтому два вектора скорости не должны начинаться в одной и той же точке. Если вы сделаете правильный рисунок и возьмете предел $dt\to 0$ , как и должно быть, если вы говорите о бесконечно малом времени, вы видите, что $v_2 \to v_1$

В вашем наброске (Пифагор):

в_{2} "=" в_{1} \sqrt{1 + {(\frac{а г т}{в_{1}})}^{2}} "=" в_{1} (1 + . . . г т^{2} + . . . г т^{4} + . . .)

$v_2=v_1\sqrt{1+\left(\frac{adt}{v_1} \right)^2}=v_1\left(1+... dt^2+...dt^4+...\right)$ квадратичен в

d t

$dt$ . Если бы у вас было ускорение в направлении скорости, вы бы получили поправку, линейную по

d t

$dt$ . Вот почему в пределе

d t \to 0

$dt\to 0$ ,

\frac{г в}{г т} "=" \frac{в_{2} - в_{1}}{г т}

$\frac{dv}{dt}=\frac{v_2-v_1}{dt}$ исчезает для вашего случая, но не исчезает при ускорении, параллельном скорости.

к сожалению, это утверждение останется прежним, даже если ускорение и скорость не перпендикулярны. Но величина скорости при этом меняется.
Уточнил, что я имею в виду в ответе.

лесник · Answer 2

Проблема здесь в том, что вы берете какое-то маленькое, но все же не нулевое время и думаете, что ускорение в это время постоянно. Это неправда. То, что вы получаете, является приближением. Поскольку это приближение, вы не получите правильного ответа «величина скорости остается постоянной». Вы получаете приблизительный ответ «величина скорости немного увеличивается».

Что вам нужно сделать, так это оценить, насколько увеличивается скорость в соответствии с вашими приблизительными расчетами. Тогда вам следует повысить точность вашей аппроксимации: скажем, разделить период времени на 1000, у вас сейчас будет 1000 шагов, и вы должны учитывать, что на каждом шаге ускорение разное. Вы бы увидели, чем короче ваши шаги, тем ближе ваш примерный ответ к правильному. Разница в скорости будет все ближе и ближе к 0.

Почему при равномерном круговом движении нормальное ускорение не увеличивает величину скорости?

шивамы

Стивен

Селена Рутли

Селена Рутли

Пиркс

Ответы (2)

пользователь1583209

лесник

пользователь1583209

лесник

Каков процент рекуперации энергии в системах рекуперации кинетической энергии (KERS) в автомобилях?

Что именно измеряет угловой акселерометр и как можно получить SO(3) вращение из этих измерений?

Почему шарик для пинг-понга меняет направление, когда я вращаю его на столе?

Это кинематический парадокс?

Является ли вращение абсолютным? [дубликат]

Почему кинетическая энергия является неподвижной точкой преобразования Лежандра?

Движения поршня в четырехтактном цикле?

Как мне перейти на релятивистскую вращающуюся систему отсчета?

Двойной составной маятник: зачем использовать инерцию относительно центра масс для нижнего маятника?

Проблема кругового движения? [закрыто]