Это кинематический парадокс?

Мне кажется, то, что вы видите, это то, что вы получаете здесь - чтобы шестерни заблокировались, а валы не крутились.

В общем, если большая шестерня приводит в движение маленькую шестерню, то меньшая шестерня будет вращаться быстрее, и наоборот. Если вы попытаетесь сделать и то, и другое сразу, то ваши усилия просто уйдут на приложение кручения к вторичному валу, который будет пытаться вращаться с двумя разными скоростями в местах расположения первой и второй шестерни.

Это вовсе не парадокс: это просто означает, что эта установка шестеренок не будет вращаться.

На самом деле, есть связанный с этим «парадокс», который чрезвычайно распространен в реальной жизни. Просто замените оранжевую часть землей и немного наклоните синюю часть, и вы получите грубую схему поворота автомобиля. Точно такое же рассуждение, которое вы привели, по-видимому, доказывает, что автомобили не могут поворачиваться без проскальзывания одного из колес по земле.

Эта логика совершенно верна, если оси автомобиля вращаются как твердые объекты, поэтому игрушечные машинки не могут поворачиваться. Конечно, настоящие автомобили могут поворачиваться, потому что ось разбита дифференциалом , что позволяет колесам поворачиваться с разной угловой скоростью.

Эта система поначалу кажется нелогичной, но ее можно легко объяснить, если мы проанализируем крутящие моменты, действующие на каждую из шестерен. Для удобства в дальнейшем я буду называть синюю шестеренку слева$A$, синяя шестеренка справа как$B$, оранжевая шестеренка слева как$C$и оранжевая шестеренка справа как$D$.

Теперь представьте, что вращается оранжевый вал, и давайте на мгновение забудем о синем валу. Когда вы будете вращать оранжевый вал, вы увидите, что точка на$C$граница вращается со скоростью$\omega R$, и точка на$D$граница вращается со скоростью$2\omega R$. Аналогично движение синего вала (при отсутствии оранжевого вала). Теперь, когда мы соединяем их обоих вместе, сценарий неожиданно меняется.

Допустим, мы прикладываем крутящий момент для вращения вала 2, а на вал 1 в этот момент не действует внешний крутящий момент. Как только вал 1 начнет двигаться, возможны два сценария (прежде чем я объясню их, вы должны знать, что независимо от того, насколько точно вы проектируете эти шестерни, всегда будет некоторое смещение между обеими парами соприкасающихся шестерен ($AC$и$BD$), таким образом, одна пара соприкоснется раньше другой):

• $D$касается$B$до$C$касается$A$: В этом случае, поскольку изначально только$D$и$B$соприкасаются, таким образом$B$поверхность приобретает скорость, равную$D$, а начальная угловая скорость вала 1 становится$2\omega$(здесь$D$нужно подтолкнуть$B$вниз , чтобы заставить его двигаться). Однако вскоре после начала$C$тоже начинает трогать$A$, но с тех пор$A$скорость перед движением была бы$4\omega R$, и$C$было бы$\omega R$, таким образом, они не смогут двигаться вместе после того, как коснутся друг друга (здесь$C$остановки$A$от движения толканием$A$вверх ). Итак, наконец, мы бы$D$прикладывая нисходящую силу к$B$, и$A$прикладывая нисходящую силу к$C$. Таким образом, чистый крутящий момент на валу 1 из-за вала 2 направлен на север ( подробнее о том, как определить направление крутящего момента, см. здесь ). Этот крутящий момент уравновешивается крутящим моментом, обеспечиваемым шарниром, к которому прикреплен вал 2.

• $C$касается$A$до$D$касается$B$: Этот сценарий очень похож, поэтому я оставляю вам возможность проанализировать его самостоятельно. После анализа мы видим, что крутящий момент на валу 1 из-за вала 2 направлен в южном направлении, и снова этот крутящий момент уравновешивается крутящим моментом, обеспечиваемым шарниром, к которому прикреплен вал 2.

Что произойдет, если я приложу огромную силу для вращения вала 2? Сборка по-прежнему не будет двигаться?

Что ж, если мы имеем дело с реальными объектами, то при определенной силе крутящего момента/силы, которую вы прикладываете, результирующий крутящий момент на валу 1 превысит максимальный крутящий момент, который может обеспечить шарнир, и в конечном итоге шарнир разорвется. и вал 1 сместится со своего места. В идеальных нерушимых ситуациях система останется статичной, что бы вы ни делали.

Изучив шестерни слева, мы видим, что на каждый оборот 1, 2 нужно совершить два оборота. Изучив шестерни справа, мы можем увидеть, что на каждый оборот 1, 2 должны совершить пол-оборота. Это невозможно, поэтому шестерни не будут вращаться.