Что известно о топологической структуре пространства-времени?

Общая теория относительности утверждает, что пространство-время является лоренцевым 4-многообразием. М метрика которого удовлетворяет уравнениям поля Эйнштейна. У меня есть два вопроса:

  1. Какие топологические ограничения накладывают уравнения Эйнштейна на многообразие? Например, существование метрики Лоренца подразумевает некоторые топологические вещи, такие как исчезновение характеристики Эйлера.

  2. Проводятся ли какие-либо эксперименты или даже гипотетические эксперименты, которые могут дать информацию о топологии? Например, есть ли группа аспирантов, пытающихся сжать петли, чтобы открыть фундаментальную группу Вселенной?

Относительно 2. Если вы решаете уравнение электромагнитных волн в замкнутом пространстве, вы получаете геометрическую дисперсию, из-за которой скорость волн зависит от их частоты (хотя эффект слишком мал, чтобы его можно было наблюдать на масштабах длины, в которых мы измеряем электромагнитное излучение).
по теме: physics.stackexchange.com/q/12012/226902 (пространство-время просто связано?)

Ответы (6)

Это отличный вопрос! То, о чем вы спрашиваете, является одним из недостающих звеньев между классической и квантовой гравитацией.

Сами по себе уравнения Эйнштейна, грамм мю ν знак равно 8 π грамм Т мю ν , являются уравнениями локального поля и не содержат никакой топологической информации. На уровне принципа действия

С е час знак равно ∫ М г 4 Икс − грамм р

термин, который мы обычно включаем, является скаляром Риччи р знак равно Т р [ р мю ν ] , которая зависит только от первой и второй производных метрики и снова является локальной величиной. Таким образом, действие также не говорит нам о топологии, если только вы не находитесь в двух измерениях, где характеристика Эйлера задается интегралом скаляра Риччи:

∫ г 2 Икс р знак равно х

(по модулю некоторых числовых множителей). Итак, гравитация в двух измерениях полностью топологична. Это отличается от четырехмерного случая, когда действие Эйнштейна-Гильберта не содержит топологической информации.

Это должно охватывать ваш первый вопрос.

Однако не все потеряно. К 4D-гравитации можно добавить топологические степени свободы, добавив члены, соответствующие различным топологическим инвариантам (Черн-Саймонс, Ни-Ян и Понтрягин). Например, вклад Черна-Саймонса в акцию выглядит так:

С с с знак равно ∫ г 4 Икс 1 2 ( ϵ а б я Дж р с г я Дж ) р а б с г

Вот очень хорошая статья Джекива и Пи для деталей этой конструкции.

О топологии и общей теории относительности можно сказать еще много. Ваш вопрос только царапает поверхность. Но есть золотая жила внизу! Я позволю кому-то другому заняться вашим вторым вопросом. Короткий ответ: «да».

Спасибо за ответ. Я не понимаю, почему EFE не могут содержать топологические данные, поскольку вам нужно глобальное решение для них (вы можете решить это локально, но они должны быть объединены вместе, чтобы сформировать глобальную метрику). Например, если бы EFE подразумевали что-то вроде положительной скалярной кривизны, то это действительно ограничило бы топологию (положительность в точке является локальной, положительность везде является глобальной). Добавление топологических инвариантов выглядит очень интересно - мне нужно больше узнать об этом.
Я понимаю, что ты пытаешься сказать. EFE должны кодировать какую-то топологическую информацию помимо добавления топологических терминов к действию. Или, возможно, это потому, что мы считаем ЭФЭ фундаментальными, тогда как термин Риччи и другие топологические термины могут возникать из чего-то более общего, такого как Б Ф теория Ссылка , которая является топологической теорией. В любом случае, если вам нравится ответ, не могли бы вы принять его как ответ . Спасибо :-)
@user346 user346 «Значит, гравитация в двух измерениях полностью топологична». Не могли бы вы рассказать об этом в менее технических терминах для меня?
Я тоже не понимаю этого значения для теории 2D-гравитации. В 2-мерном случае характеристика Эйлера является серьезным ограничением благодаря классификации 2-мерных замкнутых поверхностей. Тем не менее, поверх него априори по-прежнему существует множество, возможно, различных римановых структур. Я надеюсь, что кто-то может это понять.

Только один дополнительный момент, о котором я не упомянул выше: если пространство-время имеет нетривиальную фундаментальную группу, оно не будет видно наблюдателю на бесконечности . В этом состоит содержание теоремы о топологической цензуре . Подразумевается, что для асимптотически плоского пространства-времени любая интересная топология будет скрыта за горизонтом событий. Доказательство теоремы на удивление простое: это более или менее прямое расширение теоремы Пенроуза о сингулярности.

Видеть:

Фридман, Дж. Л.; Шлейх, К. и Витт, Д.М. Топологическая цензура Phys. Rev. Lett., Американское физическое общество, 1993, 71, 1486–1489.

Шлейх, К. и Витт, Д.М. Особенности топологии и дифференцируемой структуры асимптотически плоских пространств-времен http://arxiv.org/abs/1006.2890

Галлоуэй, Г.Дж. О топологии области внешней связи . Учебный класс. Квантовая Грав. 12 № 10 (октябрь 1995 г.) L99 (3 стр.)

Вы математик, верно? Поэтому, пожалуйста, объясните мне вещи на уровне физика :-) Мой вопрос в том, как изменится этот вывод, если пространство-время асимптотически деСиттеровское или антидеСиттеровское? И как вы относитесь к гипотезе додекаэдрической вселенной ?
@space_cadet: я мало что знаю о гипотезе додекаэдрической вселенной, но из того, что я знаю, разве это не попытка объяснить определенные «особенности» данных WMAP? Я не думаю, что есть какая-то априорная причина, чтобы исключать или исключать это: об этом расскажут только данные. Что касается топологической цензуры в пространствах dS или AdS: сам аргумент Пенроуза использует только условие нулевой энергии, на которое не влияет космологическая постоянная. Но утверждение о топологической цензуре, я думаю, требует времяподобного или нулевого Scri, чтобы иметь смысл. Действительно, в случае с AdS есть статья 2001 года, написанная...
... Галлоуэя, Шлейха, Витта и Вулгара, который показывает, что тот же результат (топологическая цензура) верен для асимптотически анти-де-ситтеровского пространства-времени. То есть, определяя область внешних коммуникаций как пересечение прошлого и будущего Scri, они показали, что для (n+1) мерного (при n не менее 3) асимптотически AdS-пространства-времени область внешних коммуникаций равна односвязна в том смысле, что любая времениподобная кривая, идущая от Scri к (той же связной части) Scri, может непрерывно деформироваться до причинной кривой в Scri.
Интересный ответ, но вас это может заинтересовать: link.springer.com/article/10.1134%2FS0202289313010064 .

Я не знаю ответа, но ваша интуиция верна: тот факт, что уравнения являются локальными, не означает, что не может быть ограничения на топологию глобального решения. Например, в евклидовой подписи р я Дж знак равно грамм я Дж сразу следует, что скалярная кривизна положительна, что, в свою очередь, приводит к топологическим ограничениям. Если четырехмерное многообразие является эйнштейновским и комплексным, то оно должно быть поверхностью дель Пеццо (с сильными ограничениями). Я мало что знаю о лоренцевской подписи, но я знаю, что PDE — это совершенно другой зверь. Я видел несколько результатов о классификации возможных групп голономии лоренцевских эйнштейновских многообразий, но я не знаю ничего глобального (на самом деле я вообще ничего не знаю).

  1. Уравнения Эйнштейна описывают локальную структуру пространства-времени. Они не содержат глобальной или топологической информации.

    Хотя я слышал, что некоторые ограничения в масштабе топологии могут быть получены из кривизны Вселенной, если кривизна отрицательна. (Что-то вроде «масштаб = целое число, кратное 1/кривизне».)

  2. Ну, а если наше пространство имеет нетривиальную топологию, то световые лучи будут многократно "оборачивать" нашу Вселенную, и вы сможете увидеть одинаковые (похожие) копии галактик. Я слышал о людях, которые безуспешно искали такое сходство.

    Также нетривиальная топология должна приводить к некоторой корреляции в CMB — таких корреляций тоже не обнаружено (пока?).

Что вы подразумеваете под масштабом топологии? Но уравнения Эйнштейна нужно решать глобально, поэтому нельзя ли наложить какие-то ограничения на топологию? Например, если бы уравнения Эйнштейна подразумевали положительную скалярную кривизну, то это ограничило бы возможные многообразия. Кроме того, поскольку не существует какой-либо классификации даже односвязных 4-многообразий, кажется вероятным, что существуют нетривиальные многообразия, которые не обладают свойством «обтекания» световых лучей.
Самый простой пример — рассмотрим плоское пространство-время. Вы можете представить его «заворачивающимся», поэтому, когда вы пройдете расстояние L в одном направлении, вы попадете в одно и то же место. Насколько я понимаю, это будет называться трехмерным тором (в простейшем случае). Расстояние L является масштабом топологии. Он может быть произвольным — уравнения Эйнштейна не накладывают на него никаких ограничений.
О, хорошо, так что это все равно будет геометрической вещью: масштабирование цилиндра не меняет никакой топологии.
@Kostya Можете ли вы перечислить некоторые статьи, в которых люди пытаются смоделировать «Кроме того, нетривиальная топология должна привести к некоторой корреляции в CMB ...»?
@Kostya, спасибо, я искал что-то подобное здесь ... physics.stackexchange.com/questions/438454/… (еще не прочитал все, но подумал: P)

Это два независимых вопроса, один математический, а другой о наблюдениях.

  1. Какие ограничения на глобальную структуру пространства и/или пространства-времени накладывают уравнения Эйнштейна? Я не знаю общего ответа, у меня сложилось впечатление, что о лоренцевых многообразиях известно не так много, как о евклидовых многообразиях. Более того, нет оснований подозревать, что пространство/пространство-время лишено сингулярностей (по крайней мере, мы знаем о многих черных дырах во Вселенной), и я сомневаюсь, что можно многое сказать о глобальной структуре любого многообразия, если принять во внимание особенности.

  2. О наблюдательной физике: единственный наблюдаемый объект, который, как мне кажется, чувствителен к глобальной структуре, — это низкие мультиполи реликтового излучения, и время от времени появляются статьи на эту тему, чтобы объяснить аномалии в таких мультиполях (например, истории о футбольных формах). вселенная). Увы, космическая дисперсия ограничивает серьезность таких наблюдений и моделей, призванных их объяснить.

Что касается экспериментов и вопросов топологии, то Гленн Старкман и др. написали на эту тему некоторые работы. В своей работе они ищут в реликтовом излучении структуры, которые указывали бы на какую-то конкретную топологию Вселенной. В PI есть очень хорошая лекция по этому вопросу, а также по другим вопросам, связанным с CMB . Чтобы дать вам спойлер на лекции, они ничего не нашли в корреляции больших углов.

Что известно о топологической структуре пространства-времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v