Поздравляем! Вы наткнулись на важный вопрос дифференциальной геометрии :

Как я могу узнать, вызвано ли искривление моим выбором координат или пространством, в котором я живу?

Как уже упоминалось в других ответах, слово «кривизна» относится либо к свойству пространства, но также и к свойству координат. Позвольте мне вместо этого назвать последнее «вариацией».

Чтобы проиллюстрировать оба случая, представьте:

1. Находясь в «плоском» евклидовом пространстве, но используя сферические координаты
2. Живя на сфере, используя любые координаты.

В первом случае очевидно, что переход к декартовым координатам устраняет все вариации ваших координат. В последнем вы можете выбрать любое представление, которое вы хотите — вы не получите координаты без вариаций! Например, чем ближе вы подходите к полюсам, тем ваши координаты вынуждены становиться «плотнее», если они должны оставаться непрерывными.

Это означает, что это должно быть вызвано самим пространством. Если координаты не выстраиваются прямо, мы говорим: «Пространство имеет кривизну». Кривизна также называется «внутренним свойством пространства», имея в виду именно то, что это свойство не зависит от его представления координатами.

Кратко отвечая на ваш вопрос: Нет . Говоря «пространство-время искривлено», мы имеем в виду «пространство-время имеет кривизну», а не только «координаты меняются».

Некоторые определения

Обратите внимание, однако, что словарный запас крайне расплывчатый. Чтобы быть более точным, нам нужно использовать математические термины: наше «пространство» или «пространство-время» становится «римановым многообразием», а именно абстрактным математическим набором с некоторыми хорошими свойствами и способностью измерять расстояния локально. Последнее называется «метрическим тензорным полем» .

«Координаты» на самом деле являются картами из нашего Многообразия в$\mathbb R^n$, в случае пространства-времени$n=4$. Где бы вы ни были, вы найдете карту с набором реальных чисел.

Как только вы введете карту координат, у вас будет основа для метрического тензора, и вы сможете представить его несколькими компонентами, которые являются действительными числами. Это чрезвычайно полезно, так как теперь мы можем легко брать производные от него (в направлениях нашего базиса координат). Если эти производные везде равны нулю, вы уже знаете, что находитесь в плоском пространстве.

Однако «кривизну» определить не так просто. Нам нужно найти инструменты для измерения неспособности наших карт координат стать постоянными. К счастью, есть такие люди, как Гаусс и Риман, которые делают за вас тяжелую работу.

Подход Гаусса

Подход Гаусса заключается в сравнении того, как «круги растут». Если вы находитесь на сфере, «воспринимаемый радиус» круга немного больше, чем радиус, соответствующий его окружности/площади, поэтому вы знаете, что находитесь в искривленном пространстве. Точнее, в Пространстве с положительной кривизной радиус может быть и меньше ожидаемого! Рассмотрим седло. Поскольку круг «растянут», длина окружности и площадь больше, чем ожидалось, — это пример отрицательной кривизны. Хорошая ментальная картина для$n=2$заключается в том, что если вы попытаетесь смонтировать лист бумаги и заметите, что:

1. Он рвется: отрицательная кривизна
2. Идеально подходит: нулевая кривизна
3. Сжимает: положительная кривизна

Проблема с подходом Гаусса заключается в том, что хотя он интуитивно понятен при взгляде «снаружи» на многообразие, определение его изнутри многообразия требует принятия предела, и его не так просто вычислить и обобщить.

Ну, по крайней мере, не так просто, как это сделал Риман:

Подход Римана

Возьмем сферу: самый известный эффект кривизны нашего мира — это тот факт, что вы можете натянуть треугольник с углами.$\frac \pi 2$Только.

Другая возможность — параллельный транспорт: если вы возьмете вектор и пойдете прямо вверх к северному полюсу, затем прямо вправо к экватору и прямо вниз, ваш вектор сместится на$\frac\pi 2$.

Это можно обобщить: возьмите вектор, параллельно переместите его на некоторое расстояние вверх, на некоторое расстояние вправо, вернитесь вниз и назад влево. В плоском пространстве вектор не изменился бы. Однако в искривленном пространстве мы бы наблюдали сдвиг.

Теперь обратите внимание, что понятия «вверх» и «вправо» можно легко обобщить до идеи следования двум координатным векторам! Это идея тензора Римана :

1. Возьмите вектор$w$
2. Транспортируйте его в направлении вектора (в нашем случае: координатного вектора)$u$, тогда$v$
3. Перенесите тот же вектор в направлении затем$v$, тогда$u$, а также поправочный термин, указанный по техническим причинам.
4. Обратите внимание, как разница в путях сделала наш вектор другим.

Однако не совсем. Поскольку вектор смещения зависит от расстояния, и мы хотим определить значение кривизны локально, в данном случае как свойство точки, сокращение расстояния приводит к тому, что вектор смещения обращается в ноль. Так что наш аргумент не совсем корректен – нас интересует линейное изменение упомянутого вектора смещения при изменении расстояния.

Мы можем вычислить количество для каждой пары$n$координаты (индексы:$\mu, \nu$), а затем можно наблюдать$\rho$-компонента единичного вектора в направлении$\sigma$– обозначим эту величину через$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$. У него есть некоторые симметрии, поэтому мы на самом деле имеем$\frac{n^2(n^2-1)}{12}$независимые компоненты (в этом я доверяю википедии). Этот тензор можно сжать до меньшего путем суммирования по тому же$\rho$а также$\mu$, оставляя два индекса, которые можно еще раз сверлить, оставляя скаляр$R$, также известный как скаляр Риччи , который, к удивлению, в двух измерениях вдвое больше гауссовой кривизны. Таким образом, риманова кривизна, похоже, все же улавливает правильную интуицию!

Уравнение, которое вы видели выше, можно свести к первой и второй частным производным метрического тензора, что очень легко оценить (по крайней мере, если вы знаете закрытую форму). Помните, что тензор (и, очевидно, производные сокращения, такие как скаляр Риччи) содержат много терминов; вычисление тензора Римана — излюбленное упражнение энергичного студента (или бедолаги, желающего пройти курс дифференциальной геометрии.

Резюме

Имеется в виду внутренняя кривизна пространства, то есть она не зависит от выбора координат. Существуют умные методы определения того, отличается ли ваше пространство от плоского евклидова пространства и в какой степени, а именно кривизна Гаусса и, что более важно, тензор Римана.

Оба, на самом деле. (конечно это совсем разные, но и то и другое называется "кривизна")

Координаты определенно криволинейны (поэтому их все-таки называют криволинейными).

Но существует независимое от координат понятие кривизны геометрии пространства-времени. Это дается тензором кривизны Римана.

Вы, наверное, знаете, что в плоском пространстве-времени он равен нулю. Обратите внимание, как это выполняется во всех системах координат — как в криволинейной, так и в галилеевой. Это связано с тем, что тензорные уравнения ковариантны относительно преобразований координат.

Из-за этого он считается свойством пространства-времени (поскольку не зависит от координат). Есть хороший, независимый от координат способ понять, что такое кривизна: когда вы параллельно переносите вектор вдоль замкнутой кривой, разница между исходным вектором и результатом преобразования отлична от нуля при наличии кривизны.

Независимо от используемой системы координат, материя искривляет пространство.
Вы можете выбрать "галилеевскую", "римановскую", "эйнштейновскую" и т.д. системы координат, которые вы считаете более удобными, но факт остается фактом: материя искривляет пространство .
Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, искривлено пространство , а не координатные линии .

Искривленные координаты на плоском пространстве-времени соответствуют ускорению наблюдателей, а не гравитации.

Первое физическое открытие общей теории относительности заключается в том, что при наличии гравитации у вас нет глобальной инерциальной системы отсчета — сравните это с плоским пространством, где вы всегда можете построить линейную систему координат. Второй физический вывод заключается в том, что у вас есть локально инерциальные системы отсчета, особенно системы свободного падения — это «принцип эквивалентности» — поэтому многообразие, которое вы используете для моделирования пространства-времени, обязательно должно иметь локальную плоскость. Следовательно, (псевдо)римановы многообразия становятся правильным способом моделирования пространства-времени в общей теории относительности.

Вот почему символы Кристоффеля существуют и для ускорения наблюдателей в плоском пространстве-времени — они первого порядка в производных метрики, и поэтому могут быть устранены путем преобразования в плоскую систему координат, где метрика постоянна (это хорошо, потому что символы Кристоффеля не являются тензорами). С другой стороны, тензор кривизны Римана имеет второй порядок по производным метрики и не может быть устранен преобразованием координат.

Кривизна пространства-времени — это не физический закон, это просто очень мощная и практичная модель, введенная Эйнштейном для работы с уравнениями поля Эйнштейна.

Одним из основных применений искривленного пространства-времени является метрика Шварцшильда.

Напротив, соответствующая метрика Минковского (с плоским пространством-временем) равна

куда$\mathrm dt$неискривленное время и$\mathrm dr$представляет собой неискривленное радиальное смещение.

Сравнивая оба, вы обнаружите, что в метрике Шварцшильда время$\mathrm dt$умножается на константу

Таким образом, мы можем описать гравитацию с координатами плоского пространства, где только гравитационное замедление времени действовало бы на плоскую метрику. Но, как упоминалось выше, представление в виде искривленного пространства-времени оказалось гораздо более практичным, и оно широко предпочтительнее описания в терминах плоского пространства. Но искривленное пространство-время — не более чем выбор координат.