Как зафиксировать локально декартовы координаты на поверхности сферы?

На странице 166 этой книги говорится, что

любая геометрия, какой бы криволинейной она ни была, локально плоская , в каждой пространственной точке мы всегда можем построить бесконечно малый участок декартовой системы координат.

Вопрос в том, какими могут быть (или как мыслить) локальные декартовы координаты на поверхности единичной сферы? Поскольку это декартова координата, метрический тензор должен быть дельта я Дж . Если я использую ( Икс , у , г ) система, метрический тензор не становится дельта я Дж из-за ограничения Икс 2 + у 2 + г 2 "=" 1 . В сферических полярных координатах метрика тоже не дельта я Дж .

Обратите внимание на слово «бесконечно малый». Координаты будут не точно «на» сфере, а на касательной плоскости к сфере. Вы можете думать о них как о порожденных выбором двух перпендикулярных касательных векторов в точке касания. «Бесконечно малые» точки касательной плоскости будут соответствовать точкам сферы по экспоненциальному отображению , но на любом конечном участке, каким бы малым он ни был, кривизна сферы отлична от нуля, поэтому индуцированные координаты не являются плоскими.
Небольшой комментарий к сообщению (v1): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, названия и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.

Ответы (1)

Комментарии к посту (v1):

  1. К слову локально плоский Исх. 1, по-видимому, указывает на существование римановых нормальных координат , т. е. можно договориться в точке , что (i) метрический тензор является дельтой Кронекера и что (ii) первые частные производные метрики равны нулю.

  2. Этот результат не обязательно можно распространить на открытую окрестность из-за кривизны, ср. например , этот и этот сообщения Phys.SE.

Использованная литература:

  1. У. Леонхардт и Т. Филбин, Геометрия и свет: наука о невидимости, 2010 г.; п. 166.
Как зафиксировать локально декартовы координаты на поверхности сферы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v