Что не так с этим применением Прецессии Томаса к измерению скорости кругового движения?

Это отличный вопрос, потому что он поднимает некоторые настоящие тонкости, которые Джексон замалчивает — или, по крайней мере, не делает так ясно, как мог бы. У разных объектов разные законы трансформации, и описываемый вами вектор положения просто не трансформируется по закону прецессии Томаса.

В конечном счете, прецессия Томаса полезна только для векторов, которые должны быть измерены относительно «параллельно распространяющейся» системы отсчета, то есть системы отсчета, перемещаемой вместе с частицей по кругу без какого-либо постороннего вращения. (Точнее, техническое название этого переноса — транспорт Ферми-Уокера.) В первоначальном приложении релевантным вектором был спин электрона, когда он двигался вокруг ядра. (Более знакомая модель, которую часто называют прецессией Томаса, — это гироскоп, в котором его ось вращения должна оставаться направленной в «том же» направлении по мере того, как он перемещается.) Обратите внимание, что электрон в некотором смысле несет с собой свой спин. ; ему не нужно ссылаться на какую-либо конкретную точку вне электрона. Но вектор положения просто не в этом классе;

Теперь вы можете спросить, каким должен быть закон преобразования, если не закон прецессии Томаса. Ну, вы смотрите на производную вектора положения по времени, так что вы просто говорите о скорости, измеренной в двух разных системах отсчета. Вы знаете из базовой специальной теории относительности, что это описывается формулой сложения скоростей (с довольно тривиальным применением в этой ситуации). Если наблюдатель$n$(nonrot) измеряет что-то движущееся со скоростью$u$, и наблюдатель$r$(покой) движется относительно$n$со скоростью$v$, тогда$r$измеряет то, что движется со скоростью

Также стоит упомянуть вторую тонкость, которую Джексон умалчивает. Он говорит о происхождении координат движущейся системы отсчета, но его вывод на самом деле не имеет отношения к происхождению; он использует повороты и повышения, но не переводы. Таким образом, формула на самом деле не применяется к векторам, которые конкретно относятся к началу координат — факт, на который вы намекнули, отметив, что формула применима к «любому физическому вектору ».$\mathbf{G}$(выделено мной). Строго говоря,$\mathbf{x}$представляет собой математическое устройство, не имеющее внутреннего физического смысла. Вы можете использовать его для обозначения точек, чтобы вы могли говорить об электрическом поле.$\mathbf{E}(\mathbf{x})$в тот момент, например. В частности, его появление в$\boldsymbol{\omega}_T \times \mathbf{x}$действительно заставляет меня нервничать, даже не задумываясь о содержании формулы. С другой стороны, когда вы его дифференцируете, вы избавляетесь от всякой зависимости от происхождения, так что$d \mathbf{x} / dt$просто отлично.

Подводя итог, можно сказать, что прецессия Томаса просто не применима к вектору положения. Вместо этого отношение между векторами скорости в разных системах отсчета просто задается знакомым законом сложения скоростей.

Я не понял, как полностью решить проблему, но я нашел две ошибки (в которых я абсолютно уверен) в том, что вы сделали. Объединение этих двух по-прежнему не дает правильного ответа, что-то еще не так.

(1) Вы используете неверное выражение для ускорения, которое справедливо только для классических случаев. То есть,$\ a = \frac{\ v^2}{\ x}$. Правильный это$\ a = \frac{\ v^2 \gamma}{\ x}$

Эти страницы из книги Хартла «Гравитация» помогут. См. пример 5.6, уравнение 5.52 и то, что написано после него.

(2) $\ dt$приходится поправлять. Использовать$\gamma\ {dt_{rest frame}}=d\tau_{rest frame}$См. строку после уравнения 11.119 в вашем учебнике.

Дело в том, что из вывода этой формулы следует, что$\bf{\omega}_T$описывает дополнительную прецессию из-за релятивистских эффектов:

Обратите внимание, что Джексон в следующем уравнении добавляет $\bf{\omega}_T$к$\frac{e\bf{B}}{mc}$- прецессия за счет магнитного поля.