Преобразования четности и спинор Дирака

Question

Преобразования четности и спинор Дирака

паритет
Физика
спиноры
вращение
специальная теория относительности
теория представлений

матриппер

Я читаю «Трезвую квантовую теорию поля» и у меня есть некоторые сомнения относительно закона преобразования для спиноров Дирака, как объяснил автор. В книге левые киральные спиноры $\chi$ и правые киральные спиноры $\xi$ вводятся как объекты, которые состоят из двух компонентов и ведут себя при вращении $R$ вокруг $x$ -ось и бусты вдоль $z$ -ось $B$ следующее:

х_{а} \to р_{а б}^{(х Икс)} х_{б} х_{а} \to Б_{а б}^{(х г)} х_{б}

$\chi_a \rightarrow R_{ab}^{(\chi x)} \chi_b \\ \chi_a \rightarrow B_{ab}^{(\chi z)} \chi_b$

где

р_{а б}^{х г} "=" (\begin{matrix} потому что (θ / 2) & я грех (θ / 2) \\ я грех (θ / 2) & потому что (θ / 2) \end{matrix}) Б_{а б}^{(х г)} "=" (\begin{matrix} е^{ф / 2} & 0 \\ 0 & е^{- ф / 2} \end{matrix})

$R_{ab}^{\chi z} = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & i\sin(\theta/2)\\\ i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{pmatrix} \\ \\ B_{ab}^{(\chi z)} = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0\\\ 0 & e^{-\phi/2}\end{pmatrix}$

и

ξ_{а} \to р_{а б}^{(ξ Икс)} ξ_{б} ξ_{а} \to Б_{а б}^{(ξ г)} ξ_{б}

$\xi_a \rightarrow R_{ab}^{(\xi x)} \xi_b \\ \xi_a \rightarrow B_{ab}^{(\xi z)} \xi_b$

где

р_{а б}^{ξ г} "=" (\begin{matrix} потому что (θ / 2) & я грех (θ / 2) \\ я грех (θ / 2) & потому что (θ / 2) \end{matrix}) Б_{а б}^{(ξ г)} "=" (\begin{matrix} е^{- ф / 2} & 0 \\ 0 & е^{ф / 2} \end{matrix})

$R_{ab}^{\xi z} = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & i\sin(\theta/2)\\\ i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{pmatrix} \\ \\ B_{ab}^{(\xi z)} = \begin{pmatrix} e^{-\phi/2} & 0\\\ 0 & e^{\phi/2}\end{pmatrix}$

Затем автор вводит спинор Дирака:

Ψ "=" (х, ξ)^{Т}

$\Psi = (\chi, \xi)^T$ который трансформируется под бустами как

(х, ξ)^{Т} \to (\begin{matrix} Б^{(х г)} (ф) & 0 \\ 0 & Б^{(ξ г)} (ф) \end{matrix}) (х, ξ)^{Т}

$(\chi, \xi)^T \rightarrow \begin{pmatrix} B^{(\chi z)} (\phi) & 0\\\ 0 & B^{(\xi z)} (\phi)\end{pmatrix} (\chi, \xi)^T$ . Пока я следую аргументам, но затем автор утверждает, что приведенное выше уравнение становится следующим:

(х, ξ)^{Т} \to (\begin{matrix} Б^{(ξ г)} (ф) & 0 \\ 0 & Б^{(х г)} (ф) \end{matrix}) (ξ, х)^{Т}

$(\chi, \xi)^T \rightarrow \begin{pmatrix} B^{(\xi z)} (\phi) & 0\\\ 0 & B^{(\chi z)} (\phi)\end{pmatrix} (\xi, \chi)^T$ потому что при преобразовании четности имеем

B^{(ξ z)} (ϕ) \to B^{(ξ z)} (- ϕ) = B^{(χ z)} (ϕ)

$B^{(\xi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\xi z)} (-\phi) = B^{(\chi z)} (\phi)$ и

B^{(χ z)} (ϕ) \to B^{(χ z)} (- ϕ) = B^{(ξ z)} (ϕ)

$B^{(\chi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\chi z)} (-\phi) = B^{(\xi z)} (\phi)$ . А затем утверждает, что это означает, что спинор Дирака

Ψ

$\Psi$ преобразуется при преобразованиях четности как

Ψ "=" (х, ξ)^{Т} \to (ξ, х)^{Т}

$\Psi = (\chi, \xi)^T \rightarrow (\xi, \chi)^T$ Я смущен тем, почему последнее утверждение следует из обсуждения выше. Я также приложил изображение раздела книги, откуда я это взял:

Ответы (1)

Преобразования четности и спинор Дирака

Киан Малеки · Answer 1

При четности в сферической координате имеем

п θ "=" π - θ п ф "=" π + ф

$\textbf{P} \theta = \pi - \theta \\ \textbf{P} \phi = \pi + \phi$

Это объясняет, почему,

Б^{(ξ г)} (ф) \to Б^{(х г)} (ф)

$B^{(\xi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\chi z)} (\phi)$

Теперь нам нужно знать, что вы подразумеваете под левохиральным спинором. Левохиральный спинор — это объект, который трансформируется, как этот буст,

х^{'} \to Б^{(х г)} х е д .1

$\chi' \rightarrow B^{(\chi z)} \chi \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; eq.1$

то же самое справедливо и для правого спинора.

Давайте начнем с ,

ξ^{'} \to Б^{(ξ г)} ξ

$\xi' \rightarrow B^{(\xi z)} \xi \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;$

Теперь применяем паритет к обеим сторонам.

п ξ^{'} \to п (Б^{(ξ г)} ξ) п ξ^{'} \to п Б^{(ξ г)} п ξ п ξ^{'} \to Б^{(х г)} п ξ е д . 2

$\textbf{P} \xi' \rightarrow \textbf{P} ( B^{(\xi z)} \xi ) \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; \\ \textbf{P} \xi' \rightarrow \textbf{P} B^{(\xi z)} \textbf{P} \xi \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; \\ \textbf{P} \xi' \rightarrow B^{(\chi z)} \textbf{P} \xi \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; eq. 2$

Теперь нужно спросить, что $\textbf{P} \xi$ . Чтобы ответить на этот вопрос, вы должны сравнить уравнение 1 с уравнением. 2. $\textbf{P} \xi$ это объект, который трансформируется как левосторонний спинор, поэтому он должен быть левосторонним спинором.

Почему обозначают простые координаты?
то, что ты назвал $\chi_a$ это то, что я назвал $\chi'$ . то, что ты назвал $\chi_b$ Я позвонил $\chi$

Преобразования четности и спинор Дирака

матриппер

Ответы (1)

Киан Малеки

матриппер

Киан Малеки

Концептуальная интерпретация левых и правых спинорных представлений группы Лоренца

Как отличить спинор от 4-вектора?

Спиновые представления группы Лоренца

Спиноры Дирака, Вейля и Майораны

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Спиноры и спиновая группа

Интерпретация спиноров ранга 2

Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Спинор Дирака в киральном базисе