Немного неясно, о чем вы спрашиваете, но не беспокойтесь: я считаю, что самое сложное в работе над чем-то — это в первую очередь найти правильный вопрос. Итак, я отвечу на два вопроса, которые я вижу в вышеизложенном, и мы можем двигаться дальше.

Вы как будто спрашиваете:

1. Для описания прецессии Томаса полностью с точки зрения вращения Вигнера (часть вращения композиции двух некоммутирующих бустеров);

2. Для дальнейшего понимания самого вращения Вигнера;

Что касается первого вопроса, я думаю, что нужно представить электрон как классическую точечную частицу и выяснить, что происходит с его спином, когда он «вращается» вокруг ядра с учетом релятивистских эффектов. Затем вы «угадываете» гамильтониан по релятивистски скорректированному классическому взаимодействию. Учтите, что недостающий фактор$1/2$не является проблемой электрона, описываемого уравнением Дирака, поэтому я никогда особо не задумывался над этой проблемой.

Итак, у нас есть три инерциальные системы отсчета:

1. ядро;
2. То, что на мгновение движется вместе с электроном по круговой орбите, то есть скорость$v$в$x$-направление относительно первого кадра, когда касательная траектории электрона проходит в этом направлении;
3. Что электрона короткое время$\delta t$позже. Относительно второго кадра этот кадр будет двигаться со скоростью$a_y \hat{y} \delta t + a_x \hat{x} \delta t$, где я разделил общее ускорение на компоненты, параллельные и расположенные под прямым углом к ​​скорости кадра 2 относительно кадра 1 (хотя$a_x=0$для кругового движения).

Чтобы получить преобразование Лоренца напрямую из кадра 1 в кадр 3, мы составляем бусты:

$$\exp\left(\frac{a_y}{c} \,\delta t\, K_y + \frac{a_x}{c} \,\delta t\, K_x\right) \exp\left(\frac{v_x}{c}\,K_x\right) = \exp\left(\frac{v_x}{c}\,K_x + \frac{a_x}{c}\,\delta t\,K_x + \frac{a_y}{c}\,\delta t\, K_y + \frac{a_y\,v_x}{2\,c^2}\,[K_y,\,K_x]\,\delta t + \cdots\right)\tag{1}$$

по версии формулы Дынкина теоремы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Из коммутационных соотношений для группы Лоренца получаем$[K_y,\,K_x] = i\,J_z$, так что$\frac{a_y\,v_x}{2\,c^2}\,[K_y,\,K_x]\,\delta t$соответствует вращению вокруг$z$ось$a_y\,v_x\,\delta t / (2\,c^2)$радианы (здесь несколько очевидно$J_z,\,J_y,\,J_z$являются «образующими вращений», т. е. касательными к вращениям вокруг$x,\,y,\,z$оси в тождестве, соответственно, в то время как$J_z,\,J_y,\,J_z$являются «генераторами» бустов).

Так, для кругового движения$a_x = 0$и мы находим из формулы Дынкина, что скорость прецессии спина равна:

$$\vec{\Omega} = \frac{\vec{a}\wedge \vec{v}}{2\,c^2} + \cdots\tag{2}$$

откуда мы видим фактор$1/2$который затем входит в динамические уравнения, используемые для получения классического выражения взаимодействия Уравнение 29 в ссылке [1] ниже, которое дает правильный квантовый гамильтониан при использовании для «угадывания» последнего. На самом деле в формуле CBH есть и другие, более мелкие члены, тоже порядка$\delta t$что в сумме составляет:

$$\vec{\Omega} = \frac{\gamma^2\,\vec{a}\wedge \vec{v}}{(\gamma+1)\,c^2}\approx \frac{\vec{a}\wedge \vec{v}}{2\,c^2}\tag{3}$$

(аппроксимация справедлива для$v\ll c$), но формула Дынкина позволяет очень четко увидеть самый большой вклад в вращение Вигнера и дает «правильный» фактор, который дает «правильное» классическое взаимодействие. Ссылка [2] ниже выводит полное выражение вращения Вигнера из формулы Родригеса для$SL(2,\,\mathbb{C})$, которое является двойным накрытием группы собственных ортохронных преобразований Лоренца (компонента тождественной связности группы Лоренца). См. также ссылку [3], в которой коммутатор, обсуждавшийся выше, выводится с помощью элементарного трюка, но он по-прежнему точен только до первого порядка в$a / c$.

[1]: GF Smoot, UC Berkeley Physics 139 Lecture note, 1998 ;

[2]: д-р Билл Пеццаглия, CSUEB Physics, «Специальная теория относительности и прецессия Томаса», 2010 г. , стр. 16 и далее.

[3]: Анджей Драган, Томаш Оджигождзь, «Вывод прецессии Томаса на полстраницы», 2012 г., arxiv.org/abs/1211.1854

Теперь, что касается моего второго «воспринимаемого вопроса», если вы хотите получить более глубокое представление о самом вращении Вигнера, то я не верю, что можно получить более глубокое понимание, чем ваше утверждение:

...два ускорения в разных направлениях не коммутируют и эквивалентны чистому ускорению плюс чистое вращение

Язык групп Ли является «правильным способом» для описания этих идей, поскольку он является наиболее кратким и точным, который у нас есть. Не существует «повседневного» понимания. Это просто возникает из структурных констант алгебры Лоренца, и для меня это настолько глубоко, насколько это возможно. Хотя бусты в одном направлении являются однопараметрической подгруппой группы Лоренца, множество всех бустов не является подгруппой группы Лоренца, и этот факт просто обусловлен природой группы Лоренца. Теперь вполне могут быть и даже, вероятно, будут другие описания вышеизложенного в будущем, но я держу пари, что они будут придуманы математиком как альтернатива коммутационным соотношениям алгебры Лоренца. Эффект нельзя понять в повседневных терминах, он полностью релятивистский и даже соотношение:

$$\frac{\frac{a_y\,v_x}{2\,c^2}\,[K_y,\,K_x]\,\delta t}{\frac{a_x}{c}\,\delta t\,K_x + \frac{a_y}{c}\,\delta t\, K_y}\tag{4}$$

наибольшего негалилеева члена в формуле Дынкина$\frac{a_y\,v_x}{2\,c^2}\,[K_y,\,K_x]\,\delta t$к галилеевскому изменению скорости$\frac{a_x}{c}\,\delta t\,K_x + \frac{a_y}{c}\,\delta t\, K_y$обращается в нуль в галилеевом пределе ($c\to\infty$).

Чтобы почувствовать глубину вашего утверждения, попробуйте описать следующее аналогичное повседневное явление именно словами, отличными от языка, который вы использовали в своем утверждении, т. е. языками коммутаторов и групп Ли. Ниже приводится явление и вопрос, который является совершенно повседневным и который хорошо знаком каждому, кто живет в Мумбаи, Токио, Пекине, Париже, Лос-Анджелесе или Сиднее и кто водил автомобиль:

Как мы можем параллельно припарковать автомобиль, т.е. вызвать чистое перемещение, ортогональное курсу автомобиля, когда мы можем двигаться только вперед и назад по кривым путям?

Я не верю, что вы можете получить лучшее (более повседневное, краткое) описание, которое также является точным, чем:

Операторы сдвига различных кривизн пути не коммутируют и действительно всегда составляют оператор сдвига, который составлен с чистым переносом .

Если мы представим конфигурацию нашего автомобиля как$2\times1$вектор-столбец из двух комплексных чисел$(z,\,u)^T$где$z$обозначает положение автомобиля и$u=\exp(i\,\theta)$кодирует ориентацию автомобиля. Затем, с рулевым механизмом Аккермана , если мы проедем на машине расстояние$s$вдоль траектории постоянной кривизны (постоянное положение рулевого колеса) мы будем развивать конфигурацию автомобиля следующим образом:

$$\mathrm{d}_s\left(\begin{array}{c}z\\u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&i\,\kappa\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z\\u\end{array}\right)\tag{5}$$

где$\kappa\in\mathbb{R}$кодирует настройку рулевого управления как кривизну пути; это может быть любая настройка в каком-то ненулевом интервале$-\kappa_0\leq\kappa\leq +\kappa_0$где$\kappa_0^{-1}$радиус наименьшего радиуса поворота автомобиля . Алгебра Ли множества всех возможных преобразований автомобиля определяется следующим образом:

$$\begin{array}{lclcl} D &=& \text{"drive"}&=& \left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\\ R &=& \text{"rotate"}&=& \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&i\end{array}\right)\\ S &=& \text{"sideslide"}&=& \left(\begin{array}{cc}0&i\\0&0\end{array}\right)\\ \end{array}\tag{6}$$

с коммутационными соотношениями:

$$[D,\,R]=S;\quad [S,\,D] = 0;\quad [R,\,S] = D\tag{7}$$

так что проблема полностью аналогична идее прецессии Томаса: все доступные нам преобразования имеют вид$\exp((D + \kappa R) s)$где$s$является пройденным расстоянием, и такие преобразования всегда дают третье преобразование той же формы, составленное из чистого переноса (аналог здесь вращения Вигнера), который нам нужен (чистый, ортогональный перенос), чтобы получить параллельной парковки. На этом ответ заканчивается, но....

---

Справочная информация о парковочном аналоге вращения Вигнера

Чтобы завершить обсуждение этой замечательной маленькой проблемы, если мы составим три маневра типа$\exp((D + \kappa R) s)$что дает нам управление автомобилем, т.е. мы сообщаем трансформацию$\exp((D+\kappa_3 R)s_3)\exp((D+\kappa_2 R)s_2)\exp((D + \kappa_1 R)s_1)$, а если еще обеспечить условие$s_1\kappa_1 + s_2\kappa_2+s_3\kappa_3 = 0$, мы получаем чистый перевод, представленный добавлением комплексного числа:

$$i\,(\kappa_1-\kappa_2) \left(1-e^{i\,s_1\,\kappa_1}\right)+i\,(\kappa_2-\kappa_3) \left(1-e^{i\,s_3\,\kappa_3}\right)\tag{8}$$

к машине$z$координировать. Более того, это может быть и чисто мнимое ( т.е. чистое «скольжение») для сколь угодно малых$s_1,\,s_2,\,s_3$если мы обеспечим:

$$(\kappa_1-\kappa_2) \sin(s_1\,\kappa_1)+(\kappa_2-\kappa_3) \sin(s_3\,\kappa_3) = 0\tag{9}$$

С$s_1,\,s_2,\,s_3$может быть сколь угодно малым, мы можем сделать это в сколь угодно тесном парке. Однако (8) означает, что трансляция второго порядка в$s_j$, так что количество раз, которое мы должны повторить эту последовательность из трех маневров, пропорционально$w/(L\,\epsilon^2)$, где длина парковочного места$1+\epsilon$раз больше длины$L$автомобиля, ширина которого$w$. Действительно, с нашими основными маневрами вида$\exp((D + \kappa R) s)$мы можем реализовать любое преобразование в группе:

$$\begin{array}{l}\begin{array}{lcl}E_2 &=& \left\{\mathcal{E}(x,\,y,\,\theta):\; x,\,y,\,\theta\in\mathbb{R}\right\}\\ \mathcal{E}(x,\,y,\,\theta)&\stackrel{def}{=}& \exp\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & (i\,x-y) \mathcal{A}(\theta) \\ 0 & i \theta\end{array}\right)\right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & x+i\,y \\ 0 & e^{i \theta}\\ \end{array} \right)\\ \mathcal{A}(\theta) &\stackrel{def}{=}& \left\{\begin{array}{lll} \frac{\theta}{e^{i\,\theta} - 1}&;&\theta\neq 0\\1&;&\theta = 0\end{array}\right.\\ \end{array}\\ \mathcal{E}(x_2,\,y_2,\,\theta_2) \cdot\mathcal{E}(x_1,\,y_1,\,\theta_1)= \mathcal{E}(x_1 + e^{i\,\theta_1} x_2,\,y_1 + e^{i\,\theta_1} y_2,\,\theta_1+\theta_2)\end{array}\tag{10}$$

что представляет собой всю евклидову группу аффинных преобразований плоскости Аргана. Однако, хотя мы можем реализовать любой член этой группы как сетевое преобразование, мы не можем реализовать непрерывный путь формы$\{e^{s\,R}:\,s\in\mathbb{R}\}$или формы$\{e^{s\,S}:\,s\in\mathbb{R}\}$; мы можем достичь любой заданной точки на этом пути только по зигзагообразному пути, держащемуся сколь угодно близко к этим непрерывным путям.