Что означает фраза «топологическая точка зрения» применительно к орбитам двух тел в этом контексте?

Недавний вопрос включает в себя отрывок:

С топологической точки зрения кажется вероятным, что любое твердое тело должно иметь по крайней мере одну устойчивую низкую орбиту, независимо от концентрации масс. Однако я не преодолела математику. Это уже сделано?

Что означает фраза «топологическая точка зрения» применительно к орбитам двух тел в этом контексте, лунным или каким-либо другим?

Я знаю, что топологические концепции, такие как бифуркация, важны для трех или более орбит тела (например , этот материал или изображение ниже отсюда ), но в этом контексте это просто (предположительно) безмассовое тело на орбите вокруг другого твердого тела.

CR3BP и раздвоение

Идея, которую я думаю, состоит в том, чтобы рассмотреть пространство возможных орбит и показать, что, поскольку существуют орбиты, которые возмущены (несферическими компонентами гравитации центральной массы) в одну сторону, а другие орбиты искажены в другую сторону, то где-то в между ними должен быть тот, кто не возмущается. Учитывая, что существует несколько возможных независимых форм возмущения, это вполне может быть неправдой, но топология пространства всех возможных орбит подскажет вам.
@SteveLinton Можете ли вы привести пример того, каким может быть простой пример «пространства возможных орбит»? Я полагаю, что простая центральная сила может иметь пять измерений без учета времени. Но для более сложного гравитационного поля число измерений в этом «пространстве» будет хотя бы конечным? Или пространство на самом деле всегда является просто шестимерным вектором состояния в момент времени t=0 (начальная точка)?

Ответы (1)

Начните с рассмотрения большой массы, сферической радиусом р или точка, в начале координат. Обратите внимание, что в перигелии или афелии относительное движение объекта на орбите касается центра масс.

Любая орбита с расстоянием А > р от начала координат до афелии и расстояния п до перигелия полностью характеризуется точкой на единичной сфере (соответствующей, скажем, точке перигелия) вместе с точкой на единичной окружности (задающей направление касательного движения в перигелии).

Таким образом, мы можем думать о множестве А , п орбиты в терминах единичных векторных полей на единичной 2-сфере. В более общем смысле набор орбит с энергией Е и перигелийное расстояние п будет иметь такое же свойство.

Для сферического центра масс они полностью эквивалентны. Если центральная масса не сферическая, все равно существует поверхность с равной энергией. С Е перигелия. С Е больше не будет сферическим, но будет (обычно?) Топологически таким же, как 2-сфера.

Если С Е является топологически сферическим, то векторные поля на С Е подлежат простому топологическому анализу, в том числе знаменитой «теореме о еже», утверждающей, что не существует ненулевых непрерывных векторных полей на С Е .

Редактировать:

Я больше не верю, что разумно думать в терминах перигелия и афелия, поскольку это в первую очередь предполагает наличие орбиты. Мы все еще можем думать в терминах касательных на некоторой эквипотенциальной поверхности, но должны учитывать весь диапазон кинетических энергий (скоростей). Таким образом, мы характеризуем набор геодезических точкой на сфере плюс касательный вектор, а не просто точкой на единичной окружности.

Было бы полезно немного расширить этот вопрос. Как это связано с устойчивостью к возмущениям?
Спасибо за ваш ответ, я тщательно прочитаю его через несколько часов.
@Steve Linton Это другая топологическая перспектива, чем устойчивость к возмущениям, в которой я намекаю, что может быть какой-то простой трюк с теоремой ежа. Если ежик не работает, то возмущения кажутся наиболее многообещающим путем.
Ладно, прошло уже больше нескольких часов, но я почти у цели. Я посмотрю, когда сегодня вечером будет поспокойнее. «Теорема о волосатом шаре» — это ответ на мой вопрос . Обязательно ли всегда есть по крайней мере две точки, в которых магнитное поле Земли вертикально? и я предполагаю, что это просто сферический ёжик?
Что означает фраза «топологическая точка зрения» применительно к орбитам двух тел в этом контексте?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v