Зависит ли скорость прецессии апсид от аргумента перицентра? Возможно, более высокого порядка?

Да, есть много других терминов, связанных с высшими силами$\omega$, хотя полномочия$\omega$чаще встречаются как$\cos 2 \omega$,$\sin 3 \omega$, и т. д. , и размером большинства из них обычно можно пренебречь, потому что они умножаются на мелкие вещи, такие как$J_2$в кубе или$J_5$. Есть рецепты для генерации любого количества терминов, которые вы хотите использовать, с произвольно большими степенями всех элементов орбиты, но их сложно объяснить. Первую часть вывода вы можете прочитать в книге Роберта Баттина « Введение в математику и методы астродинамики» (1999), где этот материал составляет большую часть главы 10. Он также присутствует практически в любом другом солидном тексте по астродинамике, который вам может понравиться. , хотя все с немного разными обозначениями. Вторая часть не очень хорошо освещена в Баттине, Вальядо или других подобных книгах, которые я читал, за исключением « Теории спутниковой геодезии» Уильяма Каулы , поэтому я рекомендую вам попытаться найти ее копию.

Я попытался свести вывод к чему-то, что мог бы опубликовать здесь, но у меня не получилось. Алгебра слишком плотная. Основная идея состоит в том, чтобы записать полную динамику как простое кеплеровское решение для двух тел плюс что-то еще, где все дополнительные ускорения известны, и задача состоит в том, чтобы найти изменение движения двух тел, которое соответствует этим возмущениям. Это называется изменением параметров, который представляет собой общий метод решения некоторых типов дифференциальных уравнений, изобретенный Эйлером и расширенный Лагранжем и Гауссом, специально для решения этой проблемы при определении орбит Юпитера и Сатурна. Они вычислили уравнения, описывающие, как элементы орбиты изменяются со временем, основываясь на всех вещах, кроме простой кеплеровской точечной массы двух тел, которую вы хотите рассмотреть. Это приводит к планетарным уравнениям Лагранжа . Из шести тот, о котором вы спрашивали,

в форме Лагранжа, где$R$является «возмущающей функцией», производные которой дают ускорения, которые мы хотим изучить. В случае, когда возмущение вызвано третьим гравитирующим телом, таким как солнце или луна,$R$равно

где$m$- масса третьего тела,$\rho$- его расстояние от центрального тела,$d$- его расстояние от орбитального тела, и$\alpha$угол между векторами$\r$и$\rho$. Finding an$R$это приводит к ускорению, которое вы хотите изучить, может быть трудным, поэтому альтернативная форма Гаусса использует ускорения напрямую, но я не собираюсь вводить ее здесь. Вместо этого давайте посмотрим, где мы получаем$R$и как мы берем его производные. Если мы рассматриваем эффект того, что центральное тело не является точечной массой, то принято писать$R$как

как описано в этом ответе . Имейте в виду, что мы не должны были делать это таким образом. Мы решили сделать это таким образом, потому что это на самом деле намного проще, чем многие другие способы, которые мы могли бы выбрать! Коэффициенты$\bar{C}_{nm}$и$\bar{S}_{nm}$определяются как результат интегрирования соответствующих весовых функций, умноженных на гравитационный потенциал, с областью распределения массы центрального тела, но фактически они измеряются путем сравнения этой формулы с наблюдаемым движением спутников. Этот процесс является «спутниковой геодезией» названия Каулы.

То, что я назвал «второй частью» выше, является следующим шагом, который на самом деле представляет собой получение производных возмущающей функции, а затем возню, пока мы не придем к некоторому приближению, которое мы можем решить. Большая часть работы на этом этапе — это классическая механика на уровне книги Герберта Гольдштейна , производящая кучу «канонических» преобразований , что на самом деле означает изменение переменных до тех пор, пока вы не преобразуете гамильтониан во что-то с тривиальными решениями. Таково происхождение теорий средних элементов, таких как работа Брауэра , которая началась с переменных Делоне и продолжилась.оттуда. Другая половина, которая, как я видел, разработана до такого уровня детализации только в Кауле, состоит в том, чтобы переписать различные части функции беспокойства как вещи, чьи производные легче взять. Так получилось, что синус широты$\phi$равно$\sin i \sin(\omega + f)$, где$f$является истинной аномалией и$\sin \phi$является аргументом соответствующих многочленов Лежандра! Кроме того, можно переписать термины в sin и$\cos m \lambda$(долгота) как полиномы от sin и cos от ($m(\Omega-\theta)+c(\omega+f)$), где c — целое число, зависящее от степени cos или sin, и$\theta$часовой угол по Гринвичу. Это означает, что каждый член разложения содержит$\omega$явно, за исключением тех немногих, которые симметричны относительно оси вращения сферической системы координат.

================================================== ==============

Между прочим, кое-что еще более интересное происходит при так называемом критическом наклонении : если$\cos^2 i = 1/5$, что происходит примерно при 63,435 градусах, то по этой формуле$\dot{\omega}$точно равен нулю, независимо от того, какое значение$J_2$принимает , и, таким образом, аргумент перигея не меняется, независимо от того, вокруг какого тела вращается.

Это используется практически для так называемой орбиты Молния , сильно эксцентричной (обычно$e$составляет от 0,6 до 0,75) орбиты с аргументом перигея в 270 градусов (около южного полюса), так что апогей находится около северного полюса, и, таким образом, может дать гораздо лучший географический охват Советского Союза, чем мог бы (обязательно околоэкваториальный ) геостационарная орбита. Высокий эксцентриситет использует закон равных площадей и равных времен Кеплера, чтобы организовать его таким образом, что спутник проводит большую часть своей 12-часовой орбиты, очень медленно перемещаясь по северному небу, а затем очень быстро приближается к южной половине земного шара, прежде чем снова всплыть над северной частью неба. на север, где он хочет быть, и снова замедляется. На такой орбите нужно$\dot{\omega}$исчезнуть, чтобы вся концепция работала, иначе ваш спутник, начавший обитать над северным полушарием, начнет вращаться так, что апогей станет сначала экватором, а затем над южным полушарием, где вам не нужно покрытие связи.

Теперь, конечно$\dot{\omega}$никогда не бывает точно нулевым, поэтому этим кораблям действительно приходится выполнять свой собственный вид удержания на месте, но силы, действующие на них, которые они маневрируют, чтобы отменить, сильно отличаются от сил, обнаруженных на других типах именованных орбит. Точная природа этой странности на протяжении многих лет привлекала большой исследовательский интерес, некоторые из которых были связаны с довольно пугающей степенью математической сложности. Чтобы дать представление о том, что можно найти, вот ссылки на три очень разные статьи, затрагивающие интересные аспекты проблемы.

• да Коста, де Мораес, Карвалью и Прадо, «Искусственные спутники, вращающиеся вокруг спутников планет: критическое наклонение и солнечно-синхронные орбиты» , Journal of Physics: Conf. Серия 911 (2017) 012018 современна, доступна и обсуждает земную луну, Ио и Европу.

• Юпп, «Критическая проблема наклона — 30 лет прогресса» , Celestial Mechanics 43 (1989) 127-138, представляет собой увлекательную болтливую историю работ 60-х и 70-х годов, которая обеспечивает несколько мягкое введение в некоторые из необходимых передовых математических знаний. чтобы понять мой третий пример,

• Коффи, Депри и Миллер, «Критическое наклонение в теории искусственных спутников» , Celestial Mechanics 39 (1986) 365-406, которая начинается со слов

«критическим наклонением в основной проблеме теории искусственных спутников является внутренняя сингулярность. Его значение связано с двумя геометрическими событиями в редуцированном фазовом пространстве на многообразиях постоянного полярного углового момента и постоянного действия Делоне. В окрестности критического наклонения вдоль семейства круговых орбит возникают две бифуркации Хопфа, к каждой из которых сходятся два семейства орбит..."

и становится все труднее оттуда.